Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x+y+z, x+z, y-z)
Prove que T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a transformação linear T: R^3 R^3 , definida por T(x, y, z) = (x+y+z, x+z, y-z) , é um isomorfismo. Isso significa que T precisa ser linear, injetora e sobretora. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e isomorfismos, mas vou explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que T é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar. Olhando para a expressão de T :
T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2), (x1 + x2) + (z1 + z2), (y1 + y2) - (z1 + z2))
E comparando com T(x1, y1, z1) + T(x2, y2, z2) , vemos que são iguais. Além disso, para qualquer escalar c :
T(c x, c y, c z) = (c x + c y + c z, c x + c z, c y - c z) = c (x + y + z, x + z, y - z) = c T(x, y, z)
Portanto, T é linear.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se [T) é injetora. Isso quer dizer que se , então . Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, e . Isso mostra que o único vetor que mapeia para zero é o vetor zero, ou seja, é injetora.

Passo 4

Por fim, vamos ver se T é sobrejetora. Como T é uma transformação linear de R^3 para R^3 e já mostramos que é injetora, isso implica que ela também é sobrejetora (porque as dimensões dos espaços de partida e chegada são iguais). Mas para garantir, podemos verificar o determinante da matriz associada a T .
A matriz de T é:
A = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1
Calculando o determinante:
det(A) = 1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-1) + 1 cdot 1 = -1 + 1 + 1 = 1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, A (e portanto T ) é invertível, confirmando que T é sobrejetora.

Resposta

Como T é uma transformação linear injetora e sobrejetora, concluímos que T é um isomorfismo.

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