Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a transformação linear , definida por , é um isomorfismo. Isso significa que precisa ser linear, injetora e sobretora. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e isomorfismos, mas vou explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela preserva a adição e a multiplicação por escalar. Olhando para a expressão de :
E comparando com , vemos que são iguais. Além disso, para qualquer escalar :
Portanto, é linear.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se [T) é injetora. Isso quer dizer que se , então . Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, e . Isso mostra que o único vetor que mapeia para zero é o vetor zero, ou seja, é injetora.
Passo 4
Por fim, vamos ver se T é sobrejetora. Como T é uma transformação linear de R^3 para R^3 e já mostramos que é injetora, isso implica que ela também é sobrejetora (porque as dimensões dos espaços de partida e chegada são iguais). Mas para garantir, podemos verificar o determinante da matriz associada a T .