Exercícios de Revisão: Integração por Partes
\int \frac{x}{\exp (x)} \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x}{\exp(x)}\,\mathrm{d}x
que podemos reescrever como
\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo a ser usado é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, escolhemos
u = x \qquad\text{e}\qquad \mathrm{d}v = e^{-x}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos então
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x \qquad\text{e}\qquad v = \int e^{-x}\,\mathrm{d}x = -\,e^{-x}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de partes:
\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x = u\,v \;-\;\int v\,\mathrm{d}u = x\bigl(-e^{-x}\bigr)\;-\;\int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,\mathrm{d}x = -x\,e^{-x} \;+\;\int e^{-x}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Como
\int e^{-x}\,\mathrm{d}x = -\,e^{-x},
temos
\int x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x = -x\,e^{-x} \;-\; e^{-x} + C = -\bigl(x+1\bigr)\,e^{-x} + C.

Resposta

-\bigl(x+1\bigr)\,e^{-x} + C

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