Exercícios de Revisão: Integração por Partes
\int x \arcsin \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x
Usaremos o método de integração por partes, em que escolhemos uma parte da integral para derivar (u) e outra para integrar (dv).

Passo 2

Escolhemos
u = \arcsin\bigl(x^{2}\bigr), \quad \mathrm{d}v = x\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos \mathrm{d}u e v:
Derivando u:
\mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{1-\bigl(x^{2}\bigr)^{2}}}\cdot 2x\,\mathrm{d}x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\mathrm{d}x.
Integrando \mathrm{d}v:
v = \int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Pela fórmula de partes,
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u,
temos
\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) - \int \frac{x^{2}}{2}\,\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\mathrm{d}x.
Simplificando o integrando:
\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) - \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Para calcular
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\mathrm{d}x
fazemos a substituição t = 1 - x^{4}, logo \mathrm{d}t = -4x^{3}\,\mathrm{d}x, isto é, x^{3}\,\mathrm{d}x = -\tfrac{1}{4}\,\mathrm{d}t. A integral fica
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{-1}{4}\,\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{4}\int t^{-\tfrac12}\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{4}\cdot 2\,t^{\tfrac12} = -\frac{1}{2}\sqrt{t} = -\frac{1}{2}\sqrt{1-x^{4}}.

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando,
\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) - \Bigl(-\tfrac12\sqrt{1-x^{4}}\Bigr) + C = \frac{x^{2}}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{1}{2}\sqrt{1-x^{4}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,x^{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{1}{2}\sqrt{1-x^{4}} + C

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