Exercícios de Revisão: Integração por Partes
\int\left(1+2 x+3 x^{2}\right) \exp (4 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(1+2x+3x^{2}\bigr)e^{4x}\,\mathrm{d}x
usando integração por partes. Vamos aproveitar a linearidade da integral e aplicar a técnica de partes nos termos que envolvem x e x^2.

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
\int\bigl(1+2x+3x^{2}\bigr)e^{4x}\,\mathrm{d}x = \underbrace{\int e^{4x}\,\mathrm{d}x}_{I_{0}} +2\underbrace{\int x\,e^{4x}\,\mathrm{d}x}_{I_{1}} +3\underbrace{\int x^{2}e^{4x}\,\mathrm{d}x}_{I_{2}}.

Passo 3

Calcular I_{0}:
I_{0} = \int e^{4x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\,e^{4x} + C_{0}.

Passo 4

Calcular I_{1}=\int x\,e^{4x}\,\mathrm{d}x por partes escolhendo
\,u = x, \mathrm{d}v = e^{4x}\mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d}u= \mathrm{d}x, v=\tfrac{1}{4}e^{4x}.
I_{1} = x\cdot\frac{e^{4x}}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4}\,\mathrm{d}x = \frac{x\,e^{4x}}{4} - \frac{1}{4}\cdot\frac{e^{4x}}{4} = \frac{x\,e^{4x}}{4} - \frac{e^{4x}}{16} + C_{1}.

Passo 5

Calcular I_{2}=\int x^{2}e^{4x}\,\mathrm{d}x por partes escolhendo
\,u = x^2, \mathrm{d}v = e^{4x}\mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x, v=\tfrac{1}{4}e^{4x}.
I_{2} = x^2\frac{e^{4x}}{4} - \int \frac{1}{4}\,2x\,e^{4x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2e^{4x}}{4} - \frac{1}{2}\int x\,e^{4x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2e^{4x}}{4} - \frac{1}{2}\,I_{1}.
Substituindo I_{1}:
I_{2} = \frac{x^2e^{4x}}{4} - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x\,e^{4x}}{4} - \frac{e^{4x}}{16}\Bigr) = \frac{x^2e^{4x}}{4} - \frac{x\,e^{4x}}{8} + \frac{e^{4x}}{32} + C_{2}.

Passo 6

Voltando à soma principal,
\int\bigl(1+2x+3x^{2}\bigr)e^{4x}\,\mathrm{d}x = I_{0} + 2I_{1} + 3I_{2}.
Fazendo as substituições e combinando termos semelhantes, obtemos
\int\bigl(1+2x+3x^{2}\bigr)e^{4x}\,\mathrm{d}x = e^{4x}\Bigl(\frac{3x^{2}}{4} + \frac{x}{8} + \frac{7}{32}\Bigr) + C.

Resposta

e^{4x}\Bigl(\frac{3x^{2}}{4} + \frac{x}{8} + \frac{7}{32}\Bigr) + C.

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