Estude as convergências das sequências (an) :
cos (n^2+1)n+4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência an = cos(n^2+1)n+4. O conteúdo envolvido é limite de sequência e usaremos propriedades de funções limitadas e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Sabemos que para todo n, cos(n^2+1) está entre -1 e 1. Como n+4>0, podemos dividir mantendo a desigualdade e obter
-tfrac1n+4 <= tfraccos(n^2+1)n+4 <= tfrac1n+4

Passo 3

Observamos que limntoinfty-tfrac1n+4 = 0 e limntoinftytfrac1n+4 = 0. Pelo Teorema do Confronto, an também converge para 0.

Passo 4

Concluímos que a sequência é convergente, com limite igual a 0; além disso, ela é limitada ( |an| <= 1/5 para todo n) e não é monotônica pois muda de sinal de forma irregular.

Resposta

limntoinfty cos(n^2+1)n+4 = 0

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