Nos Exercícios seguintes, encontre o produto escalar dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles.
(c)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de produto escalar e encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores. Os vetores dados são u = 4 i - 7 j e v = 5 i + 6 j. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do produto escalar e do cálculo do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. A fórmula do produto escalar é:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy
Onde ux e uy são as componentes do vetor u, e vx e vy são as componentes do vetor v. Substituindo os valores:
u cdot v = (4) cdot (5) + (-7) cdot (6) = 20 - 42 = -22

Passo 3

Agora, vamos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores. A fórmula para o cosseno do ângulo theta é:
cos(theta) = u cdot v||u|| cdot ||v||
Onde ||u|| e ||v|| são os módulos dos vetores u e v, respectivamente. Para calcular os módulos, usamos:
||u|| = raizux^2 + uy^2 = raiz4^2 + (-7)^2 = raiz16 + 49 = raiz65
||v|| = raizvx^2 + vy^2 = raiz5^2 + 6^2 = raiz25 + 36 = raiz61

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -22raiz65 cdot raiz61 = -22raiz3965 approx -2263.0 approx -0.349

Resposta

  • Produto escalar: u cdot v = -22
  • Cosseno do ângulo entre u e v: cos(theta) approx -0.349

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