Nos Exercícios seguintes, encontre o produto escalar dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles.
$(d) (d)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o produto escalar dos vetores u = 2i - 4j e v = 23i + 5j, além do cosseno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente como calcular o produto escalar e a relação desse produto com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores u = uxi + uyj e v = vxi + vyj é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy
Substituindo os valores dos vetores:
u cdot v = (2)(23) + (-4)(5) = 46 - 20 = 26
Então, o produto escalar dos vetores é 26.

Passo 3

Agora, para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores, usamos a fórmula:
cos theta = u cdot v|u| , |v|
Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores u e v. A magnitude de um vetor u = uxi + uyj é:
|u| = raizux^2 + uy^2
Calculando para u:
|u| = raiz2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5
E para v:
|v| = raiz23^2 + 5^2 = raiz529 + 25 = raiz554

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 262raiz5 cdot raiz554 = 262 cdot raiz2770 = 13raiz2770
Podemos racionalizar o denominador, se preferir:
cos theta = 13raiz27702770

Resposta

O produto escalar dos vetores é 26 e o cosseno do ângulo entre eles é 13raiz2770.

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