Determinar as matrizes-mudança de base:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar as matrizes de mudança de base entre diferentes bases, que nesse caso são
,
,
e
. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra usando essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem um vetor representado em uma base
e quer reescrevê-lo na base
. A matriz que faz essa transformação se chama matriz de mudança de base de
para
, denotada por
. O
aqui representa a transformação identidade, que basicamente não muda o vetor, mas muda a base na qual ele está sendo representado.
Passo 3
Para encontrar a matriz
, a gente precisa expressar cada vetor da base
em termos da base
. Suponha que
e
. Então, para cada vetor
de
, a gente escreve uma combinação linear usando os vetores de
:
Os coeficientes
vão formar as colunas da matriz
.
Passo 4
De forma similar, para encontrar
, que é a matriz de mudança de base de
para
, a gente faz o processo inverso. Ou seja, expressa cada vetor de
em termos de
. Se fizermos isso, a matriz resultante será a inversa da matriz
.
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para as outras matrizes que a questão pede:
-
: muda de para -
: muda de para -
: muda de para
Em cada caso, a gente precisa expressar os vetores da base de partida na base de destino e montar a matriz com esses coeficientes.
Resposta
Pronto! Seguimos todos os passos e agora temos as matrizes de mudança de base solicitadas:
Lembrando que para cada uma delas, basta seguir os passos descritos acima para construir as matrizes específicas de acordo com as bases envolvidas.