Seja V=Mn(R), o espaço vetorial de todas as matrizes n times n com entradas reais, e seja W o conjunto de todas as matrizes singulares, ou seja, com determinante igual a zero:
W=A in Mn(R) mid det(A)=0
Verifique se W é um subespaço de V.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear! O problema nos dá o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Queremos verificar se o conjunto , formado por todas as matrizes singulares (ou seja, com determinante igual a zero), é um subespaço de . Para isso, precisaremos lembrar o que define um subespaço vetorial e como aplicar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um escalar deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
A matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero, tem determinante igual a zero. Portanto, a matriz zero está em .
Conclusão: A primeira condição é satisfeita.

Passo 4

2. Verificando se 1 & 0 0 & 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes singulares 0 & 0 0 &1 e A + B = 1 & 0 0 &1 em , ou seja, e . Precisamos verificar se .
No entanto, a determinante não é uma função linear, então não podemos garantir que . De fato, existem exemplos onde , mesmo que .
Exemplo:
Seja e . Ambas têm determinante zero, mas:
E .
Conclusão: não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar essa condição. Pegamos uma matriz singular e um escalar . Queremos saber se também é singular.
De fato, se , então . Portanto, também está em .
Conclusão: é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não é fechado sob adição, ele não satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Portanto, não é um subespaço de .

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