Seja
, o espaço vetorial de todas as matrizes
com entradas reais, e seja
o conjunto de todas as matrizes singulares, ou seja, com determinante igual a zero:
Verifique se
é um subespaço de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear! O problema nos dá o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Queremos verificar se o conjunto
, formado por todas as matrizes singulares (ou seja, com determinante igual a zero), é um subespaço de
. Para isso, precisaremos lembrar o que define um subespaço vetorial e como aplicar essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em
, qualquer múltiplo dela por um escalar deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
A matriz zero, que tem todas as entradas iguais a zero, tem determinante igual a zero. Portanto, a matriz zero está em
.
Conclusão: A primeira condição é satisfeita.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes singulares
e
em
, ou seja,
e
. Precisamos verificar se
.
No entanto, a determinante não é uma função linear, então não podemos garantir que
. De fato, existem exemplos onde
, mesmo que
.
Exemplo:
Seja e
. Ambas têm determinante zero, mas:
Seja
E
.
Conclusão:
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que
não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar essa condição. Pegamos uma matriz singular
e um escalar
. Queremos saber se
também é singular.
De fato, se
, então
. Portanto,
também está em
.
Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, ele não satisfaz todas as condições para ser um subespaço de
. Portanto,
não é um subespaço de
.