Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Investimentos financeiros) Investimentos podem ser com juros simples ou compostos, usualmente pagos em intervalos de tempos iguais. No fim de cada intervalo os juros simples são pagos como uma porcentagem fixa do valor inicial, enquanto os juros compostos são pagos sobreo valor existente. Juros compostos são usualmente aplicados anualmente ou semestralmente. Entretanto, uma vez que consideramos o tempo como variável continua parece mais natural capitalizar os juros continuamente.Calcule o rendimento após cinco dias de um investimento de R 10000 feitos com juros de 5 %$ ao ano, capitalizados continuamente.

Passo 1

O enunciado trata de juros continuamente compostos, que se modelam por uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos usar o fato de que o capital P(t) satisfaz
dPdt = r,P
onde r é a taxa anual de juros em forma decimal, e resolver para obter a fórmula do montante.

Passo 2

Para resolver
dPdt = r,P,
fazemos separação de variáveis:
dPP = r,dt
Integrando ambos os lados,
integral dPP = integral r,dt Longrightarrow ln P = r,t + C
Exponenciando,
P(t) = C1,e^r t
Impondo a condição inicial P(0)=P0, conclui-se que C1=P0, logo
P(t) = P0,e^r t

Passo 3

Aqui temos P0 = 10000 reais e taxa anual r = 0,05. O tempo de cinco dias em anos é
t = 5365,ano
Substituindo na fórmula:
Pl(tfrac5365r) = 10000,e^0,05cdot5365

Passo 4

Agora fazemos a conta aproximada. Primeiro o expoente:
0,05cdot5365 approx 0,000685
Portanto
e^0,000685 approx 1,000685
e
Pl(tfrac5365r)approx 10000 times 1,000685 = 10006,85

Passo 5

O rendimento é a diferença entre o montante e o capital inicial:
rendimento = Pl(tfrac5365r) - 10000 approx 10006,85 - 10000 = 6,85

Resposta

O rendimento após cinco dias é aproximadamente R$ 6,85.

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