Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Investimentos financeiros) Investimentos podem ser com juros simples ou compostos, usualmente pagos em intervalos de tempos iguais. No fim de cada intervalo os juros simples são pagos como uma porcentagem fixa do valor inicial, enquanto os juros compostos são pagos sobreo valor existente. Juros compostos são usualmente aplicados anualmente ou semestralmente. Entretanto, uma vez que consideramos o tempo como variável continua parece mais natural capitalizar os juros continuamente.Calcule o rendimento após cinco dias de um investimento de
10000
5 %$ ao ano, capitalizados continuamente.
(Investimentos financeiros) Investimentos podem ser com juros simples ou compostos, usualmente pagos em intervalos de tempos iguais. No fim de cada intervalo os juros simples são pagos como uma porcentagem fixa do valor inicial, enquanto os juros compostos são pagos sobreo valor existente. Juros compostos são usualmente aplicados anualmente ou semestralmente. Entretanto, uma vez que consideramos o tempo como variável continua parece mais natural capitalizar os juros continuamente.Calcule o rendimento após cinco dias de um investimento de
Passo 1
O enunciado trata de juros continuamente compostos, que se modelam por uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos usar o fato de que o capital
satisfaz
onde
é a taxa anual de juros em forma decimal, e resolver para obter a fórmula do montante.
Passo 2
Para resolver
fazemos separação de variáveis:
Integrando ambos os lados,
Exponenciando,
Impondo a condição inicial
, conclui-se que
, logo
Passo 3
Aqui temos
reais e taxa anual
. O tempo de cinco dias em anos é
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora fazemos a conta aproximada. Primeiro o expoente:
Portanto
e
Passo 5
O rendimento é a diferença entre o montante e o capital inicial:
Resposta
O rendimento após cinco dias é aproximadamente R$
.