Q. 4(3,5). Determine os limites abaixo:
lim x +infty raizx^2+3 x+1-raizx^2+2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(raizx^2+3x+1-raizx^2+2x+1r)
O conteúdo é limite no infinito de diferença de raízes quadráticas. A técnica clássica é racionalizar, ou seja, multiplicar e dividir pelo conjugado da subtração.

Passo 2

Multiplicamos por
raizx^2+3x+1+raizx^2+2x+1 no numerador e denominador:
raizx^2+3x+1-raizx^2+2x+1 =l(raizx^2+3x+1-raizx^2+2x+1r)l(raizx^2+3x+1+raizx^2+2x+1r)% raizx^2+3x+1+raizx^2+2x+1
No numerador, usa-se a^2-b^2:
(x^2+3x+1)-(x^2+2x+1) = x
Logo
raizx^2+3x+1-raizx^2+2x+1 =xraizx^2+3x+1+raizx^2+2x+1

Passo 3

Fatoramos x dentro das raízes para deixar tudo em função de xtoinfty:
xraizx^2+3x+1+raizx^2+2x+1 =xxraiz1+tfrac3x+tfrac1x^2 +xraiz1+tfrac2x+tfrac1x^2 =1raiz1+tfrac3x+tfrac1x^2 +raiz1+tfrac2x+tfrac1x^2

Passo 4

Ao fazermos xto+infty, os termos tfrac3x,tfrac2x,tfrac1x^2 tendem a zero. Portanto cada raiz tende a 1, e o denominador tende a 1+1=2. Assim o limite é
limxto+infty1raiz1+tfrac3x+tfrac1x^2 + raiz1+tfrac2x+tfrac1x^2=12

Resposta

12

Exercícios relacionados