Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Trajetórias Ortogonais) Quando todas as curvas de uma família
interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família
então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Nessas condições, encontre as trajetórias ortogonais da família de hipérboles
.
(Trajetórias Ortogonais) Quando todas as curvas de uma família
Passo 1
O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais da família de hipérboles dada por
ou seja, curvas que cortam ortogonalmente cada hipérbole dessa família. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de curva ortogonal, onde a inclinação da trajetória ortogonal em cada ponto é o recíproco negativo da inclinação da curva original.
Passo 2
Obtemos a equação diferencial da família original tirando a derivada de
em relação a
. Como
é constante,
Mas da própria família temos
. Substituindo,
Passo 3
Para as ortogonais, a inclinação em cada ponto
é o negativo do recíproco de
. Logo, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
Passo 4
Agora resolvemos
por separação de variáveis. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Integrando,
onde
é constante de integração. Multiplicando por 2,
com
.
Resposta
A família de trajetórias ortogonais é dada por
onde
é constante de integração.