Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Trajetórias Ortogonais) Quando todas as curvas de uma família G(x, y, c)=0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família H(x, y, k)=0 então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Nessas condições, encontre as trajetórias ortogonais da família de hipérboles y=c x^-1.

Passo 1

O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais da família de hipérboles dada por
y = c,x^-1,
ou seja, curvas que cortam ortogonalmente cada hipérbole dessa família. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de curva ortogonal, onde a inclinação da trajetória ortogonal em cada ponto é o recíproco negativo da inclinação da curva original.

Passo 2

Obtemos a equação diferencial da família original tirando a derivada de y = c,x^-1 em relação a x. Como c é constante,
dydx = c cdot ddx(x^-1) = c cdot (-1),x^-2 = -,cx^2
Mas da própria família temos c = x,y. Substituindo,
dydx = -,x,yx^2 = -,yx

Passo 3

Para as ortogonais, a inclinação em cada ponto (x,y) é o negativo do recíproco de -y/x. Logo, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é
dydx = -1(-y/x) = xy

Passo 4

Agora resolvemos
dydx = xy
por separação de variáveis. Multiplicando ambos os lados por y,dx, obtemos
y,dy = x,dx
Integrando,
integral y,dy = integral x,dx Longrightarrow y^22 = x^22 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando por 2,
y^2 - x^2 = C,
com C = 2K.

Resposta

A família de trajetórias ortogonais é dada por
y^2 - x^2 = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados