Os exercícios a seguir abordam a existência ou não de limites e como isso se traduz em termos de continuidade da função.
(5 pontos) Verifique que a função f(x, y)=x^4-y^2x^4+y^2 se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=1, não é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = dfracx^4-y^2x^4+y^2, & (x,y)neq(0,0),[1em] 1, & (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f não é contínua em (0,0). Para isso, basta verificar que o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) depende do caminho de aproximação, de modo que não coincide com f(0,0)=1.]

Passo 2

Aproximando por exemplo ao longo do eixo y=0:
lim(x,y)to(0,0),,y=0f(x,y) =limxto0x^4-0x^4+0 =limxto01 =1

Passo 3

Agora aproximando ao longo da curva y=x^2:
lim(x,y)to(0,0),,y=x^2f(x,y) =limxto0x^4-x^4x^4+x^4 =limxto002x^4 =0

Passo 4

Como obtemos dois valores distintos para o limite (1 e 0), o limite de f(x,y) em (0,0) não existe. Logo, não pode coincidir com f(0,0)=1, e f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f não é contínua em (0,0).

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