Encontre os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os.
f(x, y)=18 x^2-32 y^2-36 x-128 y-110

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = 18x^2 - 32y^2 - 36x - 128y - 110
e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos precisar calcular o gradiente nabla f e a matriz Hessiana H(f).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 36x - 36,
partial fpartial y = -64y - 128
Para achar os pontos críticos, igualamos ambas a zero:
36x - 36 = 0, -64y - 128 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema acima:
36x - 36 = 0 ;Longrightarrow; x = 1,
-64y - 128 = 0 ;Longrightarrow; y = -2
Logo o único ponto crítico é (1,-2).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana, que coleta as segundas derivadas:
H(f) = fxx & fxy fyx & fyy = 36 & 0 0 & -64
O discriminante do teste da segunda derivada em duas variáveis é
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = 36 times (-64) - 0 = -2304

Passo 5

Como D < 0, isso indica que a curvatura tem sinais diferentes nas direções principais, ou seja, o ponto (1,-2) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (1,-2) e ele é um ponto de sela.

Exercícios relacionados