Encontre os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos precisar calcular o gradiente
e a matriz Hessiana
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Para achar os pontos críticos, igualamos ambas a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema acima:
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana, que coleta as segundas derivadas:
O discriminante do teste da segunda derivada em duas variáveis é
Passo 5
Como
D < 0 , isso indica que a curvatura tem sinais diferentes nas direções principais, ou seja, o ponto
(1,-2) é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
(1,-2) e ele é um ponto de sela.