Para as seguintes curvas dadas na forma paramétrica, calcule seu comprimento de arco.
Questão 9.
lx=3 t+2 y=t-1,, t in[0,2]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x=3t+2, y=t-1 para tin[0,2] e pede o comprimento de arco dessa curva.
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva dada em forma paramétrica, para o qual usamos a fórmula
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas em relação a t:
x'(t)=ddt(3t+2)=3, y'(t)=ddt(t-1)=1
Logo, o integrando fica
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz3^2+1^2 =raiz9+1 =raiz10,
que é constante em todo o intervalo.

Passo 3

Agora é só substituir na integral de t=0 até t=2:
L=integral0^2raiz10;dt =raiz10,l[tr]0^2 =raiz10,(2-0) =2raiz10

Resposta

2raiz10

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