3- (1 ponto) Calcule
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
a partir da relação implícita
O conteúdo aqui é diferenciação implícita em funções de várias variáveis, usando a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro simplificamos o lado esquerdo usando a propriedade dos logaritmos:
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando
como constante), temos:
– Lado esquerdo:
– Lado direito, aplicando regra do produto em
e
:
Portanto a equação derivada fica
Passo 4
Multiplicamos tudo por
para eliminar o denominador e depois agrupamos os termos que contêm
:
Fatorando
, obtemos
Passo 5
Isolando
, dividimos pelo fator
: