3- (1 ponto) Calcule partial z / partial x sabendo que ln (z^3)=x^2 y z^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial zpartial x a partir da relação implícita
lnl(z^3r)=x^2y,z^3
O conteúdo aqui é diferenciação implícita em funções de várias variáveis, usando a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro simplificamos o lado esquerdo usando a propriedade dos logaritmos:
lnl(z^3r)=3ln z

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como constante), temos:
– Lado esquerdo:
ddxl(3ln zr) =3cdot1z,partial zpartial x =3z,partial zpartial x
– Lado direito, aplicando regra do produto em x^2 e z^3:
ddxl(x^2y,z^3r) =yl(2x,z^3+x^2cdot3z^2,partial zpartial xr) =2x,y,z^3+3x^2y,z^2,partial zpartial x
Portanto a equação derivada fica
3z,partial zpartial x =2x,y,z^3+3x^2y,z^2,partial zpartial x

Passo 4

Multiplicamos tudo por z para eliminar o denominador e depois agrupamos os termos que contêm partial zpartial x:
3,partial zpartial x =2x,y,z^4+3x^2y,z^3,partial zpartial x Longrightarrow 3,partial zpartial x-3x^2y,z^3,partial zpartial x =2x,y,z^4
Fatorando partial zpartial x, obtemos
l(3-3x^2y,z^3r),partial zpartial x =2x,y,z^4

Passo 5

Isolando partial zpartial x, dividimos pelo fator l(3-3x^2y,z^3r):
partial zpartial x =2x,y,z^43-3x^2y,z^3 =2x,y,z^43l(1-x^2y,z^3r)

Resposta

partial zpartial x =2x,y,z^43l(1-x^2y,z^3r)

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