Os exercícios a seguir abordam a existência ou não de limites e como isso se traduz em termos de continuidade da função.
(5 pontos) Defina f(0,0) de modo que possamos extender f(x, y)=-x y^3x^2+y^2 a uma função contínua definida em todos os pontos do plano.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=-x,y^3x^2+y^2para (x,y)neq(0,0)
e pede que definamos f(0,0) de modo a estender f a uma função contínua em todo o plano. O conteúdo é limite em duas variáveis e continuidade em R^2.

Passo 2

Para estender f de forma contínua em (0,0), precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)-x,y^3x^2+y^2
e verificar se esse limite existe e é finito.

Passo 3

Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta com r>=0. Então
x^2+y^2=r^2, y^3=(rsintheta)^3=r^3sin^3theta,
e a função fica
f(r,theta) =-l(rcosthetar)l(r^3sin^3thetar)r^2 =-r^2costheta,sin^3theta

Passo 4

Como l|costheta,sin^3thetar|<=1, temos
l|f(r,theta)r| = r^2l|costheta,sin^3thetar| <= r^2
Quando rto0, isso implica l|f(r,theta)r|to0. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 5

Para que f seja contínua em (0,0), definimos o valor em (0,0) igual ao limite, ou seja,
f(0,0)=0

Resposta

A extensão contínua de f em todo o plano é obtida definindo-se
f(0,0)=0

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