Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
quando
Passo 1
O enunciado pede os extremos condicionados da função
sob a restrição
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos leva a resolver um sistema onde igualamos a combinação linear do gradiente de
e do gradiente da restrição a zero.
Passo 2
Definimos o Lagrangiano
e exigimos
Isso gera as equações
Passo 3
As duas primeiras equações podem ser escritas como
Portanto, para cada coordenada vale ou ela é zero ou
coincide com o quadrado do parâmetro correspondente:
Para satisfazer a restrição sem violar a igualdade, só uma das coordenadas pode ser não nula em cada candidato.
Passo 4
Aplicando a restrição em cada caso:
Nos pontos
,
,
temos
Passo 5
Comparando os valores
,
e
, o menor deles é o valor mínimo de
e o maior é o valor máximo de
sob a restrição.
Resposta
Pontos críticos e valores de
:
com
,
com
,
com
.
O valor mínimo de
é
e o valor máximo de
é