Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
u=x^2+y^2+z^2 quando x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1

Passo 1

O enunciado pede os extremos condicionados da função
u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sob a restrição
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos leva a resolver um sistema onde igualamos a combinação linear do gradiente de u e do gradiente da restrição a zero.

Passo 2

Definimos o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambdal(x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2-1r)
e exigimos
partial Lpartial x=0, partial Lpartial y=0, partial Lpartial z=0, partial Lpartial lambda=0
Isso gera as equações
2x-2lambda xa^2=0, 2y-2lambda yb^2=0, 2z-2lambda zc^2=0, x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1

Passo 3

As duas primeiras equações podem ser escritas como
xl(1-lambdaa^2r)=0, yl(1-lambdab^2r)=0, zl(1-lambdac^2r)=0
Portanto, para cada coordenada vale ou ela é zero ou lambda coincide com o quadrado do parâmetro correspondente:
se xneq0Rightarrowlambda=a^2, se yneq0Rightarrowlambda=b^2, se zneq0Rightarrowlambda=c^2
Para satisfazer a restrição sem violar a igualdade, só uma das coordenadas pode ser não nula em cada candidato.

Passo 4

Aplicando a restrição em cada caso:
1) x neq 0, y = z = 0; Rightarrow; x^2a^2 = 1; Rightarrow; x = pm a.
2) y neq 0, x = z = 0; Rightarrow; y = pm b.
3) z neq 0, x = y = 0; Rightarrow; z = pm c.
Nos pontos (pm a, 0, 0), (0, pm b, 0), (0, 0, pm c) temos
u(pm a, 0, 0) = a^2, u(0, pm b, 0) = b^2, u(0, 0, pm c) = c^2

Passo 5

Comparando os valores a^2, b^2 e c^2, o menor deles é o valor mínimo de u e o maior é o valor máximo de u sob a restrição.

Resposta

Pontos críticos e valores de u:
;(x,y,z)=(pm a,0,0) com u=a^2,
;(x,y,z)=(0,pm b,0) com u=b^2,
;(x,y,z)=(0,0,pm c) com u=c^2.
O valor mínimo de u é
mina^2,b^2,c^2
e o valor máximo de u é
maxa^2,b^2,c^2

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