Nos exercícios a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Sendo u=(raizm, 1,1 / 2)E e v=(raizm, 1 / 2,1)E determine m sabendo que o co-seno da medida do ângulo entre u e v vale:
13

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores
u=(raizm,1,tfrac12)E e v=(raizm,tfrac12,1)E
em uma base ortonormal E e pede o valor de m tal que o cosseno do ângulo entre eles seja tfrac13. Vamos usar a definição do produto escalar em base ortonormal e a fórmula
costheta = ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Em base ortonormal, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Assim,
ucdotv = (raizm)(raizm) + (1)l(tfrac12r) + l(tfrac12r)(1) = m + tfrac12 + tfrac12 = m + 1

Passo 3

As normas ao quadrado são
|u|^2 = (raizm)^2 + 1^2 + l(tfrac12r)^2 = m + 1 + tfrac14 = m + tfrac54,
|v|^2 = (raizm)^2 + l(tfrac12r)^2 + 1^2 = m + tfrac14 + 1 = m + tfrac54
Logo
|u|;|v| = raizm + tfrac54;raizm + tfrac54 = m + tfrac54

Passo 4

Aplicando a fórmula do cosseno e impondo costheta=tfrac13, temos
ucdotv|u||v| = m+1m + tfrac54 = tfrac13

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por m + tfrac54, obtemos
3,(m+1) = m + tfrac54 ;Longrightarrow; 3m + 3 = m + tfrac54 ;Longrightarrow; 2m = tfrac54 - 3 = -tfrac74 ;Longrightarrow; m = -tfrac78

Resposta

m = -tfrac78

Exercícios relacionados