Nos exercícios a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Calcule a medida do ângulo entre u e v nos seguintes casos:
u=(raiz2 / 2,-raiz2 / 2,1)E e v=(1,-1,0)E

Passo 1

Estamos num espaço euclidiano com base ortonormal E=e1,e2,e3. Para medir o ângulo theta entre dois vetores u e v usamos a fórmula\r
costheta = ucdotv|u|;|v|\r
Logo, precisamos calcular o produto escalar ucdotv e as normas |u| e |v|.

Passo 2

O produto escalar é\r
ucdotv = l(tfracraiz22r)cdot1 + l(-tfracraiz22r)cdot(-1) + 1cdot0 = raiz22 + raiz22 = raiz2

Passo 3

As normas são\r
|u| = raizl(tfracraiz22r)^2 + l(-tfracraiz22r)^2 + 1^2 = raiztfrac24 + tfrac24 + 1 = raiz2,
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:\r
costheta = raiz2raiz2;raiz2 = raiz22

Passo 5

Como costheta = tfracraiz22, segue\r
theta = arccos!l(tfracraiz22r) = pi4(ou 45^circ)

Resposta

theta = pi4 (isto é, 45^circ).

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