Qual matriz NÃO é diagonalizável?
Escolha uma opção:
a. (cc5 & 0 0 & -3)
b. Nenhuma das alternativas
c. (lll2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2)
d. (ll0 & 1 1 & 0)
e. (ccc-1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4)

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das matrizes não é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: uma matriz A de ordem n é diagonalizável se existir uma base de R^n (ou C^n) formada por n autovetores de A. Isso equivale a dizer que, para cada valor próprio, a multiplicidade geométrica (número de autovetores independentes) deve ser igual à multiplicidade algébrica (multiplicidade do valor próprio no polinômio característico).

Passo 2

A matriz da opção (a) é
5 & 0 0 & -3
Ela já é diagonal, tem valores próprios distintos 5 e -3, logo tem dois autovetores independentes e é diagonalizável.

Passo 3

A matriz da opção (d) é
0 & 1 1 & 0
É simétrica, seus valores próprios são 1 e -1 (distintos), portanto fornece dois autovetores independentes e também é diagonalizável.

Passo 4

A matriz da opção (e) é
-1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4 ,
já está em forma diagonal, com três valores próprios distintos. Logo é diagonalizável.

Passo 5

A matriz da opção (c) é
A = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2
Seu único valor próprio é 2 com multiplicidade algébrica 3. Para verificar a multiplicidade geométrica, consideramos
A - 2I = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
A solução de (A-2I)x=0 impõe x2=0 e x3=0, restando apenas x1 livre. Logo a dimensão do espaço de autovetores é 1, menor que 3. Isso mostra que A não tem três autovetores independentes e, portanto, não é diagonalizável.

Resposta

c

Exercícios relacionados