Nos exercícios a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Verifique se os vetores u e v são ortogonais nos seguintes casos:
u=(a, 1,1+a^2)E e v=(a, 1+a^2, 1)E

Passo 1

O enunciado dá a base ortonormal E=e1,e2,e3 e os vetores
u=(a,1,1+a^2)E e v=(a,1+a^2,1)E.
Queremos ver se uperpv, ou seja, se o produto escalar lang<=u,vrang<= é zero. Em base ortonormal vale
lang<=u,vrang<= =sumi=1^3ui,vi

Passo 2

Aplicando a fórmula do produto escalar em coordenadas, temos
lang<=u,vrang<= = acdot a ;+; 1cdot(1+a^2);+;(1+a^2)cdot 1

Passo 3

Somando e simplificando:
lang<=u,vrang<= = a^2 ;+;(1+a^2);+;(1+a^2) = a^2+1+a^2+1+a^2 =3a^2+2

Passo 4

Para ortogonalidade precisamos de lang<=u,vrang<==0, isto é,
3a^2+2=0 Longrightarrow a^2=-tfrac23,
o que não tem solução real.

Resposta

Não existem valores reais de a tais que u e v sejam ortogonais.

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