Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, amigo! A gente tem para resolver a integral indefinida
. Vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra pra quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações mais simples. A ideia é escrever essa expressão como soma de termos do tipo
, onde
,
,
e
são constantes que vamos descobrir.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
pra eliminar as frações:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas
, que significa que os coeficientes de
,
e o termo constante são zero. Então:
Resolvendo esse sistema de equações:
- Da equação 1:
- Substituindo
na equação 2: - Substituindo
na equação 4: - Da equação 3:
Resolvendo as equações 2 e 4:
Subtraindo uma da outra:
Então,
E de
, junto com
(com
):
Somando as duas:
Então,
Passo 5
Agora que encontramos os valores de
,
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos integrar:
A integral de
é
. Então:
Resposta
A integral indefinida é: