Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
(v) integral x(x-1)^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, amigo! A gente tem para resolver a integral indefinida . Vamos usar frações parciais, que é uma técnica de álgebra pra quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x(x-1)^2(x+1)^2 = A(x-1) + B(x-1)^2 + C(x+1) + D(x+1)^2 em frações mais simples. A ideia é escrever essa expressão como soma de termos do tipo , onde , , e são constantes que vamos descobrir.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x = A(x-1)(x+1)^2 + B(x+1)^2 + C(x+1)(x-1)^2 + D(x-1)^2 pra eliminar as frações:
x = (A + C)x^3 + (A + B - C + D)x^2 + (-A + 2B - C - 2D)x + (-A + B + C + D)
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas 2A + B + D = 0 -2A + B + D = 0 , que significa que os coeficientes de B + D = 0 B - D = 12 , e o termo constante são zero. Então:
Resolvendo esse sistema de equações:
  • Da equação 1:
  • Substituindo na equação 2:
  • Substituindo na equação 4:
  • Da equação 3:
Resolvendo as equações 2 e 4:
Subtraindo uma da outra:
Então,
E de , junto com (com ):
Somando as duas:
Então,

Passo 5

Agora que encontramos os valores de x(x-1)^2(x+1)^2 = 0x-1 + 14(x-1)^2 + 0x+1 + -14(x+1)^2 = 14(x-1)^2 - 14(x+1)^2 , integral x(x-1)^2(x+1)^2 , dx = 14 integral 1(x-1)^2 , dx - 14 integral 1(x+1)^2 , dx , 14 ( -1x-1 ) - 14 ( -1x+1 ) + C = -14(x-1) + 14(x+1) + C e , podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos integrar:
A integral de é . Então:

Resposta

A integral indefinida é:
integral x(x-1)^2(x+1)^2 , dx = -14(x-1) + 14(x+1) + C

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