Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
, sendo
a região acima do plano
delimitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região acima do plano
(ou seja, acima do plano
) delimitada por
,
e
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado: a superfície superior é
. - Dado: a região está acima do plano
, isto é . - Dado: as faces verticais em
são e . - Pedido: calcular
, que é o volume da região .
Passo 2
Entendimento geométrico e estratégia:
com integrando
representa o volume de
. Para montar os limites, penso em “fatiar” a região em camadas paralelas ao plano
(variando
primeiro), ou seja, usar a ordem
(uma escolha natural aqui porque a superfície dá
em função de
e as faces em
são constantes). Em palavras: para cada par
dentro da projeção de
no plano
,
varia de
até
.
Passo 3
Determinar os limites para
: como
está acima do plano
e abaixo da superfície
, temos
Aqui explico o porquê: "acima do plano
" significa que a coordenada
começa em
; a superfície
é a cota superior.
Passo 4
Determinar os limites para
: a expressão superior
só é válida (e positiva) quando
. Resolvo
Isso nos dá os limites para
na projeção no plano
.
Passo 5
Determinar os limites para
: o enunciado dá explicitamente
e
, logo
Observação: a variável
é independente de
e
neste problema porque as suas faces são planos verticais constantes.
Passo 6
Montar a integral tripla com a ordem
. Como explicado, para cada
e
temos
. Assim
Pequena aula prática: integrar em
primeiro é simples porque o integrando é
; depois sobra uma integral em
só com uma função de
, e por fim integral em
que é apenas multiplicação por comprimento em
.
Passo 7
Calcular a integral interna em
:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 8
Calcular a integral em
. Primeiro explicitamente a primitiva de
em
é
. Então
Agora avalio em
e
:
- Em
: - Em
:
Subtraindo,
Observação alternativa (mais rápida): a função
é par, então
, que dá o mesmo resultado.
Passo 9
Agora integrar em
: a integral em
é simplesmente multiplicar
pelo comprimento do intervalo em
, que é
:
Interpretação: esse é o volume da região
.