Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
\iiint_{T} d x d V, sendo T a região acima do plano x y delimitada por z=4-x^{2}, y=0 e y=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{T} dV onde T é a região acima do plano xy (ou seja, acima do plano z=0) delimitada por z=4-x^{2}, y=0 e y=4. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dado: a superfície superior é z=4-x^{2}.
  • Dado: a região está acima do plano xy, isto é z\ge 0.
  • Dado: as faces verticais em y são y=0 e y=4.
  • Pedido: calcular \iiint_{T} dV, que é o volume da região T.

Passo 2

Entendimento geométrico e estratégia: \iiint_{T} dV com integrando 1 representa o volume de T. Para montar os limites, penso em “fatiar” a região em camadas paralelas ao plano xy (variando z primeiro), ou seja, usar a ordem dz\,dx\,dy (uma escolha natural aqui porque a superfície dá z em função de x e as faces em y são constantes). Em palavras: para cada par (x,y) dentro da projeção de T no plano xy, z varia de 0 até 4-x^{2}.

Passo 3

Determinar os limites para z: como T está acima do plano xy e abaixo da superfície z=4-x^{2}, temos
0 \le z \le 4 - x^{2}.
Aqui explico o porquê: "acima do plano xy" significa que a coordenada z começa em 0; a superfície z=4-x^{2} é a cota superior.

Passo 4

Determinar os limites para x: a expressão superior 4-x^{2} só é válida (e positiva) quando 4-x^{2}\ge 0. Resolvo
4 - x^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} \le 4 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le x \le 2.
Isso nos dá os limites para x na projeção no plano xy.

Passo 5

Determinar os limites para y: o enunciado dá explicitamente y=0 e y=4, logo
0 \le y \le 4.
Observação: a variável y é independente de x e z neste problema porque as suas faces são planos verticais constantes.

Passo 6

Montar a integral tripla com a ordem dz\,dx\,dy. Como explicado, para cada y\in[0,4] e x\in[-2,2] temos z\in[0,4-x^{2}]. Assim
\iiint_{T} dV = \int_{y=0}^{4} \int_{x=-2}^{2} \int_{z=0}^{4-x^{2}} dz\,dx\,dy.
Pequena aula prática: integrar em z primeiro é simples porque o integrando é 1; depois sobra uma integral em x só com uma função de x, e por fim integral em y que é apenas multiplicação por comprimento em y.

Passo 7

Calcular a integral interna em z:
\int_{z=0}^{4-x^{2}} dz = \Bigl[z\Bigr]_{0}^{4-x^{2}} = 4 - x^{2}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{y=0}^{4} \int_{x=-2}^{2} (4 - x^{2})\,dx\,dy.

Passo 8

Calcular a integral em x. Primeiro explicitamente a primitiva de 4-x^{2} em x é 4x - \dfrac{x^{3}}{3}. Então
\int_{x=-2}^{2} (4 - x^{2})\,dx = \Bigl[4x - \dfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{2}.
Agora avalio em x=2 e x=-2:
  • Em x=2: 4\cdot 2 - \dfrac{2^{3}}{3} = 8 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{24-8}{3} = \dfrac{16}{3}.
  • Em x=-2: 4\cdot(-2) - \dfrac{(-2)^{3}}{3} = -8 - \dfrac{-8}{3} = -8 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{24-8}{3} = -\dfrac{16}{3}.
    Subtraindo,
\Bigl( \dfrac{16}{3} \Bigr) - \Bigl( -\dfrac{16}{3} \Bigr) = \dfrac{32}{3}.
Observação alternativa (mais rápida): a função 4-x^{2} é par, então \int_{-2}^{2} (4-x^{2})\,dx = 2\int_{0}^{2} (4-x^{2})\,dx = 2\bigl(8-\tfrac{8}{3}\bigr)=\tfrac{32}{3}, que dá o mesmo resultado.

Passo 9

Agora integrar em y: a integral em y é simplesmente multiplicar \dfrac{32}{3} pelo comprimento do intervalo em y, que é 4-0=4:
\int_{y=0}^{4} \dfrac{32}{3}\,dy = \dfrac{32}{3}\cdot 4 = \dfrac{128}{3}.
Interpretação: esse é o volume da região T.

Resposta

\dfrac{128}{3}

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