Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada: \iiint_{T} \frac{d x d y d z}{(x+y+z)^{2}} d V, sendo T o sólido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=2.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{T}\frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z)^{2}}
onde T é o sólido limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y+z=2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
O integrando é \dfrac{1}{(x+y+z)^{2}}.
A região T é o tetraedro com vértices (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2).
As restrições explícitas são x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x+y+z\le2.
Passo 2
Escolha do método: como o integrando depende somente de x+y+z, uma mudança de variável que inclua u=x+y+z simplifica muito a integral. A ideia é transformar as três variáveis (x,y,z) em (u,v,w) com u=x+y+z e escolher v,w de forma simples (por exemplo v=y, w=z). Isso torna a dependência do integrando só em u e transforma a região em limites fáceis para u,v,w. Depois usaremos o jacobiano da transformação para relacionar dx\,dy\,dz com du\,dv\,dw.
Breve lembrete (aula rápida): ao fazer a mudança de variáveis (x,y,z)\mapsto(u,v,w), vale
\int_{v=0}^{u}\frac{1}{u^{2}}\,(u-v)\,dv = \frac{1}{u^{2}}\int_{0}^{u}(u-v)\,dv = \frac{1}{u^{2}}\left[ u v - \frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{u} = \frac{1}{u^{2}}\left(u^{2}-\frac{u^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}.
Observe que o resultado depois de integrar sobre v e w ficou exatamente \dfrac{1}{2}, independente de u. Isso mostra que a aparente singularidade em u=0 é removida pela área da seção transversal que escala como u^{2}.