Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
\iiint_{T} \frac{d x d y d z}{(x+y+z)^{2}} d V, sendo T o sólido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{T}\frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z)^{2}}
onde T é o sólido limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y+z=2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \dfrac{1}{(x+y+z)^{2}}.
  • A região T é o tetraedro com vértices (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2).
  • As restrições explícitas são x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x+y+z\le2.

Passo 2

Escolha do método: como o integrando depende somente de x+y+z, uma mudança de variável que inclua u=x+y+z simplifica muito a integral. A ideia é transformar as três variáveis (x,y,z) em (u,v,w) com u=x+y+z e escolher v,w de forma simples (por exemplo v=y, w=z). Isso torna a dependência do integrando só em u e transforma a região em limites fáceis para u,v,w. Depois usaremos o jacobiano da transformação para relacionar dx\,dy\,dz com du\,dv\,dw.
Breve lembrete (aula rápida): ao fazer a mudança de variáveis (x,y,z)\mapsto(u,v,w), vale
dx\,dy\,dz = \left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| du\,dv\,dw,
onde a matriz é a das derivadas parciais de x,y,z em relação a u,v,w.

Passo 3

Definimos a transformação
u = x+y+z,\qquad v = y,\qquad w = z.
Invertendo:
x = u - v - w,\qquad y = v,\qquad z = w.
Agora calculo a matriz das derivadas de (x,y,z) em relação a (u,v,w):
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz é
\det = 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
Portanto
dx\,dy\,dz = du\,dv\,dw.]

Passo 4

Determinação da região em coordenadas (u,v,w).
As desigualdades originais x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x+y+z\le2 se traduzem em
u - v - w \ge 0,\qquad v\ge 0,\qquad w\ge 0,\qquad u\le 2.
Também u=x+y+z\ge0 automaticamente (soma de não-negativos). Portanto os limites são
0\le u\le 2,\qquad 0\le v\le u,\qquad 0\le w\le u-v.
(Para cada u fixo, o par (v,w) varia no triângulo do primeiro quadrante com v+w\le u.)

Passo 5

Escrevendo a integral na nova variável:
\iiint_{T}\frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z)^{2}} = \int_{u=0}^{2}\int_{v=0}^{u}\int_{w=0}^{u-v}\frac{1}{u^{2}}\;dw\,dv\,du,
pois dx\,dy\,dz=du\,dv\,dw e x+y+z=u.
Calculo das integrais internas passo a passo.
Integral em w:
\int_{w=0}^{u-v}\frac{1}{u^{2}}\,dw = \frac{1}{u^{2}}\,(u-v).
Agora integrar em v:
\int_{v=0}^{u}\frac{1}{u^{2}}\,(u-v)\,dv = \frac{1}{u^{2}}\int_{0}^{u}(u-v)\,dv = \frac{1}{u^{2}}\left[ u v - \frac{v^{2}}{2}\right]_{0}^{u} = \frac{1}{u^{2}}\left(u^{2}-\frac{u^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}.
Observe que o resultado depois de integrar sobre v e w ficou exatamente \dfrac{1}{2}, independente de u. Isso mostra que a aparente singularidade em u=0 é removida pela área da seção transversal que escala como u^{2}.

Passo 6

Agora a integral em u fica simples:
\int_{u=0}^{2}\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,[u]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Portanto a integral converge (a singularidade em u=0 não causa problema) e o valor é 1.

Resposta

1

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