Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas/observações iniciais:
- A expressão envolve o logaritmo natural de uma potência:
. - O ponto de aproximação é
pela direita (isto é, e se aproxima de ). - É necessário verificar se a expressão está bem definida nessa vizinhança (por exemplo,
para o logaritmo).
Passo 2
Verificar a validade da manipulação logarítmica e o domínio.
- Para que
exista, é preciso . - A desigualdade
equivale a . Portanto, quando se aproxima de vindo da direita (valores com ), a expressão está bem definida. - Podemos usar a identidade de logaritmo de potência: para
e qualquer real ,
Aplicando aqui (válido pois
na vizinhança considerada), reescrevemos o limite como
Passo 3
Analisar o comportamento de cada fator na forma
.
- Numerador: quando
tem-se , então
- Denominador: quando
,
Isso é um número finito não nulo (
).
Passo 4
Determinar o limite do quociente quando o numerador tende a
e o denominador tende a
.
- Regra simples de limites: se
e com finito não nulo, então com sinal dado pelo sinal de . Aqui e . - Dividir
por um número negativo dá . Logo
Passo 5
Uma verificação alternativa por substituição assintótica (intuição):
- Ponha
com . Então
Para
pequeno,
, então
comporta-se como
(tende a
como
).
- Assim
, que tende a quando . - E
. Então , que diverge para porque e o divisor é negativo.
Passo 6
Conclusão final a partir das análises: o limite da expressão original é
. Portanto o logaritmo cresce sem bound positivo enquanto
.