Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \ln \left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow -2^{+}} \ln\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{1}{x-2}}.
Informações dadas/observações iniciais:
  • A expressão envolve o logaritmo natural de uma potência: \ln\big( (4-x^{2})^{1/(x-2)}\big).
  • O ponto de aproximação é x \to -2 pela direita (isto é, x>-2 e x se aproxima de -2).
  • É necessário verificar se a expressão está bem definida nessa vizinhança (por exemplo, 4-x^{2}>0 para o logaritmo).

Passo 2

Verificar a validade da manipulação logarítmica e o domínio.
  • Para que \ln(4-x^{2}) exista, é preciso 4-x^{2}>0.
  • A desigualdade 4-x^{2}>0 equivale a -2<x<2. Portanto, quando x se aproxima de -2 vindo da direita (valores com -2<x<2), a expressão está bem definida.
  • Podemos usar a identidade de logaritmo de potência: para a>0 e qualquer real b,
\ln(a^{b}) = b\ln(a).
Aplicando aqui (válido pois 4-x^{2}>0 na vizinhança considerada), reescrevemos o limite como
\lim_{x \rightarrow -2^{+}} \frac{\ln(4-x^{2})}{x-2}.

Passo 3

Analisar o comportamento de cada fator na forma \dfrac{\ln(4-x^{2})}{x-2}.
  • Numerador: quando x \rightarrow -2^{+} tem-se 4-x^{2} \to 0^{+}, então
\ln(4-x^{2}) \to \ln(0^{+}) = -\infty.
  • Denominador: quando x \rightarrow -2^{+},
x-2 \to -4.
Isso é um número finito não nulo ( -4).

Passo 4

Determinar o limite do quociente quando o numerador tende a -\infty e o denominador tende a -4.
  • Regra simples de limites: se f(x)\to -\infty e g(x)\to c com c finito não nulo, então f(x)/g(x)\to \pm\infty com sinal dado pelo sinal de c. Aqui f(x)=\ln(4-x^{2})\to -\infty e g(x)=x-2\to -4<0.
  • Dividir -\infty por um número negativo -4 +\infty. Logo
\lim_{x \rightarrow -2^{+}} \frac{\ln(4-x^{2})}{x-2} = +\infty.

Passo 5

Uma verificação alternativa por substituição assintótica (intuição):
  • Ponha x = -2 + h com h\to 0^{+}. Então
4-x^{2} = 4 - (-2+h)^{2} = 4 - (4 -4h + h^{2}) = 4h - h^{2} = h(4-h).
Para h pequeno, 4-h\approx 4, então 4-x^{2} comporta-se como 4h (tende a 0^{+} como h).
  • Assim \ln(4-x^{2}) \sim \ln(h) + \ln(4), que tende a -\infty quando h\to 0^{+}.
  • E x-2 = -4 + h \to -4. Então \dfrac{\ln(4-x^{2})}{x-2} \sim \dfrac{\ln(h)}{-4}, que diverge para +\infty porque \ln(h)\to -\infty e o divisor é negativo.

Passo 6

Conclusão final a partir das análises: o limite da expressão original é +\infty. Portanto o logaritmo cresce sem bound positivo enquanto x\to -2^{+}.

Resposta

+\infty

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