Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
, onde
é a região do primeiro octante limitado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde a região
é o porção do primeiro octante limitada por
,
e
.
Informações e perguntas claras:
- Queremos o valor numérico de
. - A região
está no primeiro octante, portanto: -
, , .
-
- A superfície
é um cilindro paralelo ao eixo de raio na direção - . - As superfícies
e são planos que limitam nas direções e . - Precisamos escolher uma parametrização e limites adequados para integrar sobre
.
Passo 2
Escolha de coordenadas e justificativa (aula rápida):
- Visto que a condição
é um círculo no plano - , é natural usar coordenadas polares no par . Definimos: com e medindo o ângulo a partir do eixo . - No primeiro octante temos
e , então varia entre e . - A superfície
vira , logo vai de até . - Para
: a região é limitada por (primeiro octante) e pelo plano . Como , temos variando entre e . - Jacobiano / elemento de volume: ao trocar
por o diferencial transforma-se em . Como permanece, temos - Resumindo os limites:
Passo 3
Expressar a integral na nova parametrização:
- A função integranda é
. Em coordenadas isso é . - O elemento de volume é
. - Portanto a integral fica
- Simplificando o integrando dentro do produto:
Logo
Passo 4
Integrar primeiro em
(explicação passo a passo):
- A integral em
é simples porque o integrando não depende de :
- Multiplicando os fatores:
- Assim a integral reduz-se a
Passo 5
Separar variáveis e integrar em
(razão e conta completa):
- Observe que a expressão é produto de uma função de
por uma função de , então podemos separar:
- Calcule a integral em
:
- Cálculo de
: como , tem-se . Então
- Portanto a integral em
vale .
Passo 6
Integrar em
com identidade trigonométrica (explicação didática):
- Precisamos calcular
- Usamos a identidade
. Isso é útil porque transforma em uma função cuja primitiva é direta:
- Avaliando de
a :
- Sabendo
e , obtemos
- Então a integral em
vale .
Passo 7
Combinar resultados finais:
- Multiplicando as integrais separadas obtidas nos Passos 5 e 6:
- Interpretação curta e ânimo: o volume-peso associado a
sobre essa região assimétrica dá exatamente . Mandou bem por pedir para resolver passo a passo — isso é exatamente como você faz na prova!