Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
\iiint_{G} z d V, onde G é a região do primeiro octante limitado por x^{2}+z^{2}=2, y=2 x e x=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{G} z\, dV
onde a região G é o porção do primeiro octante limitada por x^{2}+z^{2}=2, y=2x e x=0.
Informações e perguntas claras:
  • Queremos o valor numérico de \iiint_{G} z\, dV.
  • A região G está no primeiro octante, portanto:
    • x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • A superfície x^{2}+z^{2}=2 é um cilindro paralelo ao eixo y de raio \sqrt{2} na direção x- z.
  • As superfícies x=0 e y=2x são planos que limitam G nas direções x e y.
  • Precisamos escolher uma parametrização e limites adequados para integrar sobre G.

Passo 2

Escolha de coordenadas e justificativa (aula rápida):
  • Visto que a condição x^{2}+z^{2}=2 é um círculo no plano x- z, é natural usar coordenadas polares no par (x,z). Definimos: x = \rho\cos\theta,\qquad z = \rho\sin\theta,com \rho\ge 0 e \theta medindo o ângulo a partir do eixo x.
  • No primeiro octante temos x\ge 0 e z\ge 0, então \theta varia entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  • A superfície x^{2}+z^{2}=2 vira \rho^{2}=2, logo \rho vai de 0 até \sqrt{2}.
  • Para y: a região é limitada por y=0 (primeiro octante) e pelo plano y=2x. Como x=\rho\cos\theta, temos y variando entre 0 e 2\rho\cos\theta.
  • Jacobiano / elemento de volume: ao trocar (x,z) por (\rho,\theta) o diferencial dx\,dz transforma-se em \rho\,d\rho\,d\theta. Como y permanece, temos dV = dx\,dy\,dz = (\rho\,d\rho\,d\theta)\,dy = \rho\,d\rho\,d\theta\,dy.
  • Resumindo os limites: 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le \rho\le \sqrt{2},\qquad 0\le y\le 2\rho\cos\theta.

Passo 3

Expressar a integral na nova parametrização:
  • A função integranda é z. Em coordenadas (\rho,\theta,y) isso é z=\rho\sin\theta.
  • O elemento de volume é dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dy.
  • Portanto a integral fica
\iiint_{G} z\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{\sqrt{2}}\int_{y=0}^{2\rho\cos\theta} (\rho\sin\theta)\;(\rho)\; dy\,d\rho\,d\theta.
  • Simplificando o integrando dentro do produto:
(\rho\sin\theta)(\rho) = \rho^{2}\sin\theta.
Logo
\iiint_{G} z\,dV = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{2\rho\cos\theta} \rho^{2}\sin\theta \; dy\,d\rho\,d\theta.

Passo 4

Integrar primeiro em y (explicação passo a passo):
  • A integral em y é simples porque o integrando não depende de y:
\int_{0}^{2\rho\cos\theta} \rho^{2}\sin\theta \; dy = \rho^{2}\sin\theta \cdot \bigl[y\bigr]_{0}^{2\rho\cos\theta} = \rho^{2}\sin\theta \cdot (2\rho\cos\theta).
  • Multiplicando os fatores:
\rho^{2}\sin\theta \cdot (2\rho\cos\theta) = 2\rho^{3}\sin\theta\cos\theta.
  • Assim a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\rho^{3}\sin\theta\cos\theta \; d\rho\,d\theta.

Passo 5

Separar variáveis e integrar em \rho (razão e conta completa):
  • Observe que a expressão é produto de uma função de \rho por uma função de \theta, então podemos separar:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\rho^{3}\sin\theta\cos\theta \; d\rho\,d\theta = \left(\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\rho^{3}\,d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \; d\theta\right).
  • Calcule a integral em \rho:
\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\rho^{3}\,d\rho = 2\cdot \left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2\cdot \frac{(\sqrt{2})^{4}}{4}.
  • Cálculo de (\sqrt{2})^{4}: como \sqrt{2}=2^{1/2}, tem-se (2^{1/2})^{4}=2^{2}=4. Então
2\cdot \frac{4}{4}=2\cdot 1=2.
  • Portanto a integral em \rho vale 2.

Passo 6

Integrar em \theta com identidade trigonométrica (explicação didática):
  • Precisamos calcular
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \; d\theta.
  • Usamos a identidade \sin\theta\cos\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Isso é útil porque transforma em uma função cuja primitiva é direta:
\int \sin\theta\cos\theta \; d\theta = \tfrac{1}{2}\int \sin(2\theta)\; d\theta = \tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right) + C = -\tfrac{1}{4}\cos(2\theta)+C.
  • Avaliando de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \; d\theta = \left[-\tfrac{1}{4}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} = -\tfrac{1}{4}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr).
  • Sabendo \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, obtemos
-\tfrac{1}{4}(-1-1) = -\tfrac{1}{4}(-2) = \tfrac{1}{2}.
  • Então a integral em \theta vale \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Combinar resultados finais:
  • Multiplicando as integrais separadas obtidas nos Passos 5 e 6:
\iiint_{G} z\,dV = \left(\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\rho^{3}\,d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \,d\theta\right) = 2\cdot \tfrac{1}{2} = 1.
  • Interpretação curta e ânimo: o volume-peso associado a z sobre essa região assimétrica dá exatamente 1. Mandou bem por pedir para resolver passo a passo — isso é exatamente como você faz na prova!

Resposta

1

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