A. Nos exercícios a seguir calcule a integral dupla integralegral dupla f(x, y) d A para as funções f(x, y) e região R dadas:
f(x, y)=x y^2; R é o retângulo definido por -1 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular a integral dupla de f(x,y)=x,y^2 sobre o retângulo R=(x,y):-1<= x<=1,;0<= y<=1. O conteúdo é integrais duplas em retângulos e a gente vai usar o Teorema de Fubini para transformar em integrais iteradas e, quando possível, fatorar.

Passo 2

Usando o Teorema de Fubini, escrevemos a integral dupla como iterada:
integral duplaR x,y^2,dA = integralx=-1^1 integraly=0^1 x,y^2,dy,dx Como o domínio é retângulo e a função é produto de uma parte que depende só de x (que é x) por uma parte que depende só de y (que é y^2), dá para fatorar em duas integrais separadas:
integral duplaR x,y^2,dA = l(integralx=-1^1 x,dxr)cdotl(integraly=0^1 y^2,dyr)

Passo 3

A gente calcula primeiro a integral em y:
integraly=0^1 y^2,dy = [y^33]0^1 = 13

Passo 4

Agora a gente calcula a integral em x:
integralx=-1^1 x,dx = [x^22]-1^1 = 12(1^2 - (-1)^2) = 0

Passo 5

Como a integral em x deu zero, o produto com tfrac13 também é zero. Logo, a integral dupla vale zero.

Resposta

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