Calcule
, em que
é a região limitada por
e
. (Sugestão: use uma propriedade especial dos logaritmos.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas retas
,
,
e
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e utilizar propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As curvas
e
são ambas funções cúbicas. Para
entre 1 e 3, essas funções criam uma espécie de “faixa” onde
varia de
a
. Então, nossos limites de integração para
são de 1 a 3, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Aqui, integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a
:
Podemos fatorar o
fora da integral porque ele é constante em relação a
:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Então, aplicando os limites:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
:
Aqui, os
se cancelam.
Passo 7
Agora, a integral dupla se reduz a uma única integral em relação a
:
Como
é uma constante, podemos factorá-la para fora da integral:
Passo 8
Vamos calcular a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 1 a 3:
Resposta
A integral dupla vale
.