Calcule integral duplaR xy d x d y, em que D é a região limitada por x=1, x=3, y=x^3 e y=4x^3. (Sugestão: use uma propriedade especial dos logaritmos.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR xy , dx , dy, onde a região R é limitada pelas retas x=1, x=3, y=x^3 e y=4x^3. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e utilizar propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. As curvas y = x^3 e y = 4x^3 são ambas funções cúbicas. Para x entre 1 e 3, essas funções criam uma espécie de “faixa” onde y varia de x^3 a 4x^3. Então, nossos limites de integração para x são de 1 a 3, e para cada x, y varia de x^3 a 4x^3.

Passo 3

Agora vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integralx=1^3 integraly=x^3^4x^3 xy , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 4

Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a y:
integraly=x^3^4x^3 xy , dy
Podemos fatorar o x fora da integral porque ele é constante em relação a y:
x integraly=x^3^4x^3 1y , dy

Passo 5

A integral de 1y em relação a y é o logaritmo natural:
integral 1y , dy = ln |y| + C
Então, aplicando os limites:
x [ ln y ]x^3^4x^3 = x (ln (4x^3) - ln (x^3))

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que ln a - ln b = ln ( ab ):
x ln ( 4x^3x^3 ) = x ln 4
Aqui, os x^3 se cancelam.

Passo 7

Agora, a integral dupla se reduz a uma única integral em relação a x:
integral1^3 x ln 4 , dx
Como ln 4 é uma constante, podemos factorá-la para fora da integral:
ln 4 integral1^3 x , dx

Passo 8

Vamos calcular a integral de x em relação a x:
integral x , dx = x^22 + C
Aplicando os limites de 1 a 3:
ln 4 [ 3^22 - 1^22 ] = ln 4 ( 92 - 12 ) = ln 4 ( 82 ) = ln 4 times 4

Resposta

A integral dupla vale 4 ln 4.

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