A. Nos exercícios a seguir calcule a integral dupla integralegral dupla f(x, y) d A para as funções f(x, y) e região R dadas:
f(x, y)=ln yx; R é o retângulo definido por 1 <= x <= e^2 e 1 <= y <= e.

Passo 1

A gente quer calcular integral duplaR ln yx,dA onde o retângulo R é dado por 1<= x<= e^2 e 1<= y<= e. O conteúdo é integração dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para reescrever em integrais iteradas, além de aproveitar que o integrando se separa em função de x vezes função de y.

Passo 2

Como R é um produto de intervalos e ln yx = 1xcdot ln y, podemos usar a propriedade de separação de variáveis em integrais duplas:
integral duplaR ln yx,dA = l(integralx=1^e^2 1x,dxr) l(integraly=1^e ln y,dyr)

Passo 3

Começamos pela integral em x:
integral1^e^2 1x,dx = [ln x]1^e^2 = ln(e^2) - ln(1) = 2 - 0 = 2

Passo 4

Agora fica
2 cdot integral1^e ln y,dy
Para calcular integral ln y,dy, usamos a primitiva
integral ln y,dy = yln y - y + C

Passo 5

Aplicando os limites em y:
integral1^e ln y,dy = [yln y - y]1^e = l(ecdot 1 - er) - l(1cdot 0 - 1r) = (e - e) - (-1) = 1
Multiplicando por 2, obtemos o valor da integral dupla.

Passo 6

Assim, a integral dupla vale
2 times 1 = 2

Resposta

2

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