Nos exercícios a, b e c a seguir, sigma(t) denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t. Em cada caso, determine:
i) O vetor velocidade V(t);
ii) O vetor aceleração A(t);
iii) A velocidade escalar em t=t0;
iv) Dois vetores tangentes unitários à trajetória da partículo no instante t=t0
v) Trace um esboço da trajetória da partícula e represente geométricamente os vetores V(t0) e A(t0).
sigma(t)=(2+cos (6 t), 2+sin (6 t)), t0=pi9.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
sigma(t)=(2+cos(6t),,2+sin(6t))
e pede: i) V(t), ii) A(t), iii) velocidade escalar em t0=pi9, iv) dois vetores tangentes unitários em t0, v) esboço da trajetória com V(t0) e A(t0). O conteúdo é cálculo de derivadas vetoriais e interpretação geométrica num movimento circular uniforme de raio 1 e centro (2,2).

Passo 2

Para achar o vetor velocidade, derivamos componente a componente:
V(t)=sigma'(t) =l(-6sin(6t),;6cos(6t)r)

Passo 3

Para o vetor aceleração, derivamos V(t):
A(t)=V'(t) =l(-36cos(6t),;-36sin(6t)r)

Passo 4

Em t0=pi9 temos 6t0=2pi/3, logo
V(t0)=l(-6sin(2pi/3),,6cos(2pi/3)r) =l(-6cdottfracraiz32,,6cdot(-tfrac12)r) =(-3raiz3,,-3)
A velocidade escalar é o módulo de V(t0):
|V(t0)| =raiz(-3raiz3)^2+(-3)^2 =raiz27+9 =6

Passo 5

O vetor tangente unitário é
T(t0)=V(t0)|V(t0)| =l(-tfracraiz32,,-tfrac12r)
Os dois vetores tangentes unitários em t0 são
T(t0)=l(-tfracraiz32,,-tfrac12r) e -,T(t0)=l(tfracraiz32,,tfrac12r)

Passo 6

No instante t0 o ponto da trajetória é
sigmal(tfracpi9r) =l(2+cos(2pi/3),,2+sin(2pi/3)r) =l(tfrac32,,2+tfracraiz32r)
A aceleração em t0 vale
A(t0) =l(-36cos(2pi/3),,-36sin(2pi/3)r) =l(18,,-18raiz3r),
que aponta radialmente para o centro (2,2).
A trajetória é o círculo de centro (2,2) e raio 1; em sigma(t0) desenhamos V(t0) tangente e A(t0) voltado para o centro.

Resposta

i) V(t)=(-6sin(6t),,6cos(6t))
ii) A(t)=(-36cos(6t),,-36sin(6t))
iii) |V(t0)|=6
iv) vetores tangentes unitários em t0:
l(-tfracraiz32,,-tfrac12r) e l(tfracraiz32,,tfrac12r)
v) trajetória: círculo centro (2,2), raio 1; em sigma(t0)=(tfrac32,2+tfracraiz32) desenhar V(t0)=(-3raiz3,-3) tangente e A(t0)=(18,-18raiz3) apontando ao centro.

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