Nas partes (a)-(k), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Duas matrizes A e B de tamanho n times n são inversas uma da outra se, e só se, A B=B A=0.
(b) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2.
(c) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale A^2-B^2=(A-B)(A+B).
(d) Se A e B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então A B é invertível e vale (A B)^-1=A^-1 B^-1.
(e) Se A e B forem matrizes tais que o produto A B está definido, então vale (A B)^T=A^T B^T.
(f) A matriz
A=[ll a & b c & d ]
é invertível se, e só se, a d-b c neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre propriedades de matrizes, especificamente determinando se certas afirmações são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes inversas, operações com matrizes (como soma e multiplicação), transposta de matrizes e determinantes. Vamos analisar cada item um por um.

Passo 2

(a) Duas matrizes A e B de tamanho n times n são inversas uma da outra se, e só se, AB = BA = 0 .
Primeiro, lembra que duas matrizes A e B são inversas uma da outra se AB = BA = I , onde I é a matriz identidade. A afirmação diz que elas são inversas se e somente se o produto delas é a matriz zero, o que não faz sentido, já que a inversa deve multiplicar para dar a identidade, não o zero.

Passo 3

(b) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 .
Vamos lembrar da fórmula do quadrado de uma soma: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 . Para matrizes, isso vira (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 . A afirmação assume que AB = BA , o que só é verdade se as matrizes comutarem. Como não é garantido que AB = BA para matrizes quaisquer, a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) .
Isso se assemelha à identidade a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) . No caso das matrizes, A^2 - B^2 = A A - B B . Multiplicando (A-B)(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2 . Para que A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) , precisamos que AB = BA . Como isso não é garantido para matrizes quaisquer, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) Se A e B forem matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível e vale (AB)^-1 = A^-1 B^-1 .
Na verdade, a regra para a inversa de um produto de matrizes é (AB)^-1 = B^-1 A^-1 . A ordem importa porque a multiplicação de matrizes não é comutativa. Portanto, dizer que (AB)^-1 = A^-1 B^-1 está errado. A afirmação é falsa.

Passo 6

(e) Se A e B forem matrizes tais que o produto AB está definido, então vale (AB)^T = A^T B^T .
A propriedade correta para a transposta de um produto de matrizes é (AB)^T = B^T A^T , ou seja, a ordem inversa. Portanto, a afirmação que iguala a transposta a A^T B^T está errada. A afirmação é falsa.

Passo 7

(f) A matriz
A= a & b c & d
é invertível se, e só se, ad - bc neq 0 .
Para matrizes 2x2, o determinante é det(A) = ad - bc . Sabemos que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Portanto, a afirmação está correta. É invertível se ad - bc neq 0 .

Resposta

  • a) Falsa
  • b) Falsa
  • c) Falsa
  • d) Falsa
  • e) Falsa
  • f) Verdadeira

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