Encontre os pontos de máximo, mínimo e sela das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo, mínimo e sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, vamos encontrar onde as inclinações da função são zero e aí ver se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais são iguais a zero, ou seja, onde a inclinação da função é plana nas direções de
e
.
Vamos igualar as derivadas parciais a zero:
Para
:
Para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de máximo relativo.
Resposta
O ponto
é um ponto de máximo relativo da função
. Não há pontos de mínimo nem de sela.