Encontre os pontos de máximo, mínimo e sela das seguintes funções:
f(x, y)=9-2 x+4 y-x^2-y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo, mínimo e sela da função f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^2 - y^2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, vamos encontrar onde as inclinações da função são zero e aí ver se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de f em relação a x é:
partial fpartial x = -2 - 2x
E a derivada parcial em relação a y é:
partial fpartial y = 4 - 2y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais são iguais a zero, ou seja, onde a inclinação da função é plana nas direções de x e y .
Vamos igualar as derivadas parciais a zero:
Para x :
-2 - 2x = 0 Rightarrow -2x = 2 Rightarrow x = -1
Para y :
4 - 2y = 0 Rightarrow -2y = -4 Rightarrow y = 2
Então, o ponto crítico é (-1, 2) .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico, precisamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = -2
partial^2 fpartial y^2 = -2
partial^2 fpartial x partial y = 0
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
D = (partial^2 fpartial x^2) (partial^2 fpartial y^2) - (partial^2 fpartial x partial y)^2 = (-2)(-2) - (0)^2 = 4
Como D > 0 e partial^2 fpartial x^2 = -2 < 0 , isso indica que o ponto crítico (-1, 2) é um ponto de máximo relativo.

Resposta

O ponto (-1, 2) é um ponto de máximo relativo da função f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^2 - y^2 . Não há pontos de mínimo nem de sela.

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