Nos exercícios a seguir, determine o comprimento das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(12 t, 8 t^{3 / 2}, 3 t^{2}\right) ; 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva em \mathbb{R}^3 definida por \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(12t,\;8t^{3/2},\;3t^2\bigr) para 0\le t\le1.
Para resolver, usamos a fórmula do comprimento de arco
L=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada de cada componente de \vec{r}(t):
\vec{r}\,'(t) =\Bigl(\tfrac{d}{dt}(12t),\;\tfrac{d}{dt}(8t^{3/2}),\;\tfrac{d}{dt}(3t^2)\Bigr) =(12,\;8\cdot\tfrac32\,t^{1/2},\;6t) =(12,\;12\sqrt{t},\;6t).

Passo 3

Determinar a norma de \vec{r}\,'(t):
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{12^2+(12\sqrt{t})^2+(6t)^2} =\sqrt{144+144t+36t^2} =\sqrt{36\bigl(t^2+4t+4\bigr)} =6\,(t+2),
pois t+2\ge0 para 0\le t\le1.

Passo 4

Calcular o comprimento integrando de 0 a 1:
L=\int_{0}^{1}6\,(t+2)\,dt =6\int_{0}^{1}(t+2)\,dt =6\Bigl[\tfrac{t^2}{2}+2t\Bigr]_{0}^{1} =6\Bigl(\tfrac12+2\Bigr) =6\cdot\tfrac52 =15.

Resposta

15

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