Nos exercícios a seguir, determine o comprimento das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(t^{2}, \operatorname{sen} t-t \cos t, \cos t+t \operatorname{sen} t\right) ; 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva em \mathbb{R}^3 \vec r(t)=\bigl(t^{2},\;\sin t - t\cos t,\;\cos t + t\sin t\bigr), \quad 0\le t\le\pi,
e pede o comprimento de arco. O conteúdo necessário é usar a fórmula
L = \int_{a}^{b}\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Vamos calcular \vec r\,'(t) componente a componente:
x(t)=t^2\implies x'(t)=2t,
y(t)=\sin t - t\cos t \implies y'(t)=\cos t -\bigl(\cos t - t\sin t\bigr) = t\sin t,
z(t)=\cos t + t\sin t \implies z'(t)=-\sin t +\bigl(\sin t + t\cos t\bigr) = t\cos t.

Passo 3

A norma de \vec r\,'(t) fica
\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{(2t)^2 + (t\sin t)^2 + (t\cos t)^2} =\sqrt{4t^2 + t^2\bigl(\sin^2 t+\cos^2 t\bigr)} =\sqrt{5\,t^2} =\sqrt{5}\,t,
já que t\ge0 em [0,\pi].

Passo 4

Agora integramos de 0 a \pi:
L = \int_{0}^{\pi}\sqrt{5}\,t\,dt =\sqrt{5}\int_{0}^{\pi}t\,dt =\sqrt{5}\,\biggl[\frac{t^2}{2}\biggr]_{0}^{\pi} =\frac{\sqrt{5}\,\pi^2}{2}.

Resposta

O comprimento da curva é \displaystyle \frac{\sqrt{5}\,\pi^2}{2}.

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