Nos exercícios a seguir, determine a curvatura das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{3} t^{3}, t^{2}, 2 t\right)

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de uma curva espacial dada por
\vec r(t)=\Bigl(\tfrac{1}{3}t^3,\;t^2,\;2t\Bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas de vetores, produto vetorial e uso da fórmula da curvatura de uma curva paramétrica, que é
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|^3}.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de \vec r(t).
\vec r\,'(t) =\Bigl(\frac{d}{dt}\tfrac{1}{3}t^3,\;\frac{d}{dt}t^2,\;\frac{d}{dt}2t\Bigr) =(t^2,\;2t,\;2),
\vec r\,''(t) =\Bigl(\frac{d}{dt}t^2,\;\frac{d}{dt}2t,\;\frac{d}{dt}2\Bigr) =(2t,\;2,\;0).

Passo 3

Montamos o produto vetorial \vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t).
\vec r\,'\times\vec r\,'' =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ t^2 & 2t & 2\\\\ 2t & 2 & 0 \end{vmatrix} =\bigl(-4,\;4t,\;-2t^2\bigr).

Passo 4

Calculamos a norma de \vec r\,'\times\vec r\,''.
\bigl\|\vec r\,'\times\vec r\,''\bigr\| =\sqrt{(-4)^2+(4t)^2+(-2t^2)^2} =\sqrt{16+16t^2+4t^4} =\sqrt{4\,(t^2+2)^2} =2\,(t^2+2).

Passo 5

Calculamos a norma de \vec r\,'(t).
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{(t^2)^2+(2t)^2+2^2} =\sqrt{t^4+4t^2+4} =\sqrt{(t^2+2)^2} =t^2+2.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da curvatura:
\kappa(t) =\frac{2\,(t^2+2)}{(t^2+2)^3} =\frac{2}{(t^2+2)^2}.

Resposta

\kappa(t)=\frac{2}{\bigl(t^2+2\bigr)^2}.

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