Nos exercícios a seguir, determine o comprimento das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(1, t^{2}, t^{3}\right) ; 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva \vec{r}(t)=(1,t^{2},t^{3}) no intervalo 0\le t\le1. Para isso usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva parametrizada:
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da função vetor:
\vec{r}\,'(t) = \bigl(0,\,2t,\,3t^{2}\bigr).

Passo 3

Determinamos a norma de \vec{r}\,'(t):
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| = \sqrt{(0)^{2} + (2t)^{2} + (3t^{2})^{2}} = \sqrt{4t^{2} + 9t^{4}} = t \sqrt{4 + 9t^{2}}.

Passo 4

Substituímos na integral do comprimento de arco:
L = \int_{0}^{1} t\,\sqrt{4 + 9t^{2}}\;dt.

Passo 5

Para resolver a integral, fazemos a substituição
u = 4 + 9t^{2}, \quad du = 18t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{18}.
Os limites em u são: para t=0, u=4; para t=1, u=13.

Passo 6

Em termos de u, a integral fica
L = \int_{4}^{13} \sqrt{u}\,\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int_{4}^{13} u^{\tfrac12}du = \frac{1}{18}\!\left[\frac{2}{3}u^{\tfrac32}\right]_{4}^{13} = \frac{1}{27}\bigl(13^{3/2}-4^{3/2}\bigr).
Como 13^{3/2}=13\sqrt{13} e 4^{3/2}=8, temos a forma final.

Resposta

L = \frac{13\sqrt{13} - 8}{27}.

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