Nos exercícios a seguir, determine o comprimento das curvas dadas. \vec{r}(t)=\left(t^{2}, \operatorname{sen} t-t \cos t, \cos t+t \operatorname{sen} t\right) ; 0 \leq t \leq \pi’
Passo 1
O enunciado dá a curva em \mathbb{R}^3\vec r(t)=\bigl(t^{2},\;\sin t - t\cos t,\;\cos t + t\sin t\bigr), \quad 0\le t\le\pi,
e pede o comprimento de arco. O conteúdo necessário é usar a fórmula
L = \int_{a}^{b}\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert\,dt.
Passo 2
Vamos calcular \vec r\,'(t) componente a componente:
x(t)=t^2\implies x'(t)=2t,
y(t)=\sin t - t\cos t \implies y'(t)=\cos t -\bigl(\cos t - t\sin t\bigr) = t\sin t,
z(t)=\cos t + t\sin t \implies z'(t)=-\sin t +\bigl(\sin t + t\cos t\bigr) = t\cos t.