Nos exercícios a seguir, determine o comprimento das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(\sqrt{2} t, e^{t}, e^{-t}\right) ; 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\bigl(\sqrt{2}\,t,\;e^{t},\;e^{-t}\bigr)
para 0\le t\le1, e pede o comprimento dessa curva. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas no espaço:
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(\sqrt{2},\;e^{t},\;-\,e^{-t}\bigr).
Logo
L=\int_{0}^{1}\sqrt{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}+\bigl(e^{t}\bigr)^{2}+\bigl(-e^{-t}\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 3

Dentro da raiz temos
2+e^{2t}+e^{-2t}.
Observe que
e^{2t}+2+e^{-2t}=(e^{t}+e^{-t})^{2},
então
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =\sqrt{(e^{t}+e^{-t})^{2}} =e^{t}+e^{-t}.

Passo 4

O comprimento é
L=\int_{0}^{1}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)\,dt =\Bigl[e^{t}-e^{-t}\Bigr]_{0}^{1} =(e-e^{-1})-(1-1) =e-e^{-1}.

Resposta

L=e - e^{-1}.

Exercícios relacionados