Nos exercícios a seguir, determine a curvatura das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(t, t, 1+t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva dada por
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t,\;1+t^{2}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da curvatura em \mathbb{R}^3:
\kappa(t) =\frac{\bigl\lVert \vec r'(t)\times \vec r''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert \vec r'(t)\bigr\rVert^{3}}.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada
\vec r'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t,\;t,\;1+t^{2}\bigr) =(1,\;1,\;2t).

Passo 3

Calculamos a segunda derivada
\vec r''(t) =\frac{d}{dt}(1,\;1,\;2t) =(0,\;0,\;2).

Passo 4

Formamos o produto vetorial e seu módulo:
\vec r'(t)\times \vec r''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 2t\\\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =(2,\;-2,\;0)
\bigl\lVert \vec r'(t)\times \vec r''(t)\bigr\rVert =\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+0^{2}} =\sqrt{8} =2\sqrt{2}.

Passo 5

Calculamos a norma de \vec r'(t):
\bigl\lVert \vec r'(t)\bigr\rVert =\sqrt{1^{2}+1^{2}+(2t)^{2}} =\sqrt{2+4t^{2}}.

Passo 6

Substituímos na fórmula da curvatura:
\kappa(t) =\frac{2\sqrt{2}}{\bigl(\sqrt{2+4t^{2}}\bigr)^{3}} =\frac{2\sqrt{2}}{(2+4t^{2})^{3/2}} =\frac{1}{(1+2t^{2})^{3/2}}.

Resposta

\boxed{\kappa(t)=\frac{1}{\bigl(1+2t^{2}\bigr)^{3/2}}.}

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