Nos exercícios a seguir, determine a curvatura das curvas dadas.
\vec{r}(t)=\left(t^{2}, 0, t\right)

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva de espaço dada por
\vec{r}(t)=\bigl(t^{2},0,t\bigr).
O conteúdo envolvido é geometria diferencial de curvas: precisamos usar a definição de curvatura
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|^{3}}
e calcular as derivadas, o produto vetorial e as normas.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada
\vec r\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2},0,t\bigr)=\bigl(2t,\,0,\,1\bigr).

Passo 3

Calculemos a segunda derivada
\vec r\,''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t,\,0,\,1\bigr)=\bigl(2,\,0,\,0\bigr).

Passo 4

Agora o produto vetorial
\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2t&0&1\\\\ 2&0&0 \end{vmatrix} =(0,\,2,\,0).
Assim
\bigl\|\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\bigr\|=2.

Passo 5

Em seguida a norma de \vec r\,'(t):
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{(2t)^{2}+0^{2}+1^{2}} =\sqrt{4t^{2}+1}.

Passo 6

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(t) =\frac{2}{\bigl(\sqrt{4t^{2}+1}\bigr)^{3}} =\frac{2}{(4t^{2}+1)^{3/2}}.

Resposta

\kappa(t)=\frac{2}{\bigl(4t^{2}+1\bigr)^{3/2}}.

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