Nos exercícios a seguir, determine a curvatura das curvas dadas.
\vec{r}(t)=(3 t, 4 \operatorname{sen} t, 4 \cos t)

Passo 1

O enunciado dá a curva espacial \vec r(t) = (3t,\;4\sin t,\;4\cos t)
e pede a curvatura \kappa(t). Para curvas no espaço, usamos a fórmula
\kappa(t) = \frac{\bigl\lVert \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t)\bigr\rVert}{\lVert \vec r\,'(t)\rVert^3}.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras e segundas de \vec r:
\vec r\,'(t) = \bigl(3,\;4\cos t,\;-4\sin t\bigr),
\vec r\,''(t) = \bigl(0,\;-4\sin t,\;-4\cos t\bigr).

Passo 3

Fazemos o produto vetorial \vec r\,'\times \vec r\,''. O resultado é
\vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t) = \bigl(-16,\;12\cos t,\;-12\sin t\bigr).

Passo 4

Calculamos as normas:
\bigl\lVert \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t)\bigr\rVert = \sqrt{(-16)^2 + (12\cos t)^2 +(-12\sin t)^2} = \sqrt{256 +144(\cos^2 t+\sin^2 t)} =20,
\lVert \vec r\,'(t)\rVert = \sqrt{3^2 + (4\cos t)^2 +(-4\sin t)^2} = \sqrt{9+16} =5.

Passo 5

Substituindo na fórmula da curvatura,
\kappa(t) = \frac{20}{5^3} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25}.

Resposta

A curvatura da curva é constante e vale \displaystyle \frac{4}{25}.

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