Resolva o sistema linear abaixo usando inversão de matrizes:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y=5 \\\ x-3 y=-10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x + y = 5,\\\ x - 3y = -10 \end{cases}
usando inversão de matrizes. O conteúdo aqui é Álgebra Linear básica: vamos escrever o sistema na forma matricial \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} e usar a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2.

Passo 2

Escrevemos
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 1 & -3\end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x \\[3pt] y\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}5 \\[3pt] -10\end{pmatrix},
de modo que \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de \mathbf{A} para garantir que ela é invertível:
\det(\mathbf{A}) = (2)(-3) - (1)(1) = -6 - 1 = -7.
Como \det(\mathbf{A})\neq 0, a inversa existe.

Passo 4

Para uma matriz
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
a inversa é
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\[3pt] -c & a \end{pmatrix}.
Aplicando em \mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & -3\end{pmatrix} com ad-bc=-7, temos
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\[3pt] -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplicamos \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}:
\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\[3pt] -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \\[3pt] -10\end{pmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -3\cdot5 + (-1)\cdot(-10) \\[4pt] -1\cdot5 + 2\cdot(-10) \end{pmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -15 + 10 \\[4pt] -5 - 20 \end{pmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix}-5 \\[3pt] -25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5/7 \\[3pt] 25/7\end{pmatrix}.]

Resposta

x = \frac{5}{7}, \quad y = \frac{25}{7}.

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