Dada a matriz A que representa a composição de três ingredientes (água, açúcar, proteína) em dois alimentos:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 70 & 20 & 10 \\\\ 60 & 25 & 15 \end{array}\right]
Se uma mistura é feita com 2 partes do 1^{\mathrm{O}} alimento e 1 parte do 2^{\mathrm{O}} alimento, qual será sua composição final?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz que contém as quantidades de água, açúcar e proteína em cada alimento. Chamando de \mathbf{a}_1 o vetor-composição do 1º alimento e de \mathbf{a}_2 o do 2º alimento, temos:
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 70 & 20 & 10\\\\ 60 & 25 & 15 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{a}_1 = (70,\,20,\,10),\;\mathbf{a}_2 = (60,\,25,\,15).
Para formar a mistura, usamos 2 partes de \mathbf{a}_1 e 1 parte de \mathbf{a}_2. O conteúdo aplicado é média ponderada de vetores.

Passo 2

Calculamos primeiro a soma ponderada sem dividir pelo total de partes. Isso é
\mathbf{s} = 2\,\mathbf{a}_1 + 1\,\mathbf{a}_2 = 2\,(70,\,20,\,10) + (60,\,25,\,15).
Fazendo as somas coordenada a coordenada:
\mathbf{s} = (2\cdot70 + 60,\;2\cdot20 + 25,\;2\cdot10 + 15) = (200,\;65,\;35).

Passo 3

Agora dividimos \mathbf{s} pelo total de partes, que é 2+1=3, para obter a composição média:
\mathbf{m} = \frac{1}{3}\,(200,\,65,\,35) = \Bigl(\tfrac{200}{3},\;\tfrac{65}{3},\;\tfrac{35}{3}\Bigr) \approx (66{,}67,\;21{,}67,\;11{,}67).

Resposta

A composição final da mistura (em porcentagem de água, açúcar e proteína) é
\bigl(66{,}67\%,\;21{,}67\%,\;11{,}67\%\bigr).

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