Nos exercícios a seguir, determine se os eventos são dependentes ou independentes. Explique seu raciocínio.
(a) Selecionar um rei de um baralho normal, recolocá-lo e então selecionar uma rainha.
(b) Devolver um filme alugado depois da data correta e receber uma multa por atraso.
(c) Um pai com olhos castanhos e sua filha com olhos castanhos.
(d) Não colocar dinheiro em um parquímetro e receber um bilhete de estacionamento.
(e) Jogar um dado de seis faces e então jogá-lo uma segunda vez de modo que a soma das duas jogadas seja cinco.
(f) Uma bola numerada de 1 a 52 é selecionada de uma urna, recolocada e, então, uma segunda bola é selecionada.

Passo 1

O enunciado pede para cada situação identificar se dois eventos são independentes ou dependentes. Em probabilidade, dois eventos A e B são independentes se e somente se
P(Acap B)=P(A),P(B),
ou equivalentemente P(Bmid A)=P(B). Vamos aplicar essa definição a cada item.

Passo 2

(a) Seja A = “selecionar um rei no primeiro sorteio” e B = “selecionar uma rainha no segundo sorteio”. Com reposição, o baralho volta a ter 52 cartas antes do segundo sorteio.
  • P(A)=452.
  • P(B)=452.
  • Como há reposição, P(Acap B)=P(A),P(B)=452cdot452
Logo P(Acap B)=P(A)P(B), ou seja, são independentes.

Passo 3

(b) Seja A = “devolver o filme depois da data correta” e B = “receber multa”. Aqui B ocorre necessariamente se A ocorrer ( P(Bmid A)=1) e não ocorre se A não ocorrer ( P(Bmid A^c)=0). Logo
P(Bmid A)neq P(B),
sendo os eventos dependentes.

Passo 4

(c) Seja A = “pai tem olhos castanhos” e B = “filha tem olhos castanhos”. A genética faz com que a cor dos olhos da filha dependa da cor dos olhos dos pais. Portanto P(Bmid A)neq P(B) e os eventos são dependentes.

Passo 5

(d) Seja A = “não colocar dinheiro no parquímetro” e B = “receber bilhete de estacionamento”. Receber o bilhete só ocorre se A ocorrer, isto é, P(Bmid A)>0 e P(Bmid A^c)=0. Logo são dependentes.

Passo 6

(e) Seja
Como (P(B\mid A=k)\neq P(B)] em geral, são dependentes.

Passo 7

(f) Seja A = “bola sorteada na primeira retirada” e B = “bola sorteada na segunda retirada”. Com reposição, a segunda urna tem sempre 52 bolas e
P(Acap B)=P(A),P(B)
Logo são independentes.

Resposta

(a) Independentes.
(b) Dependentes.
(c) Dependentes.
(d) Dependentes.
(e) Dependentes.
(f) Independentes.

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