Nos exercícios a seguir, determine a média, a variância e o desvio padrão da distribuição binomial para a variável aleatória dada, e interprete os resultados.
Sessenta e nove por cento dos adultos acham que deveria ser permitido que os músicos cantassem músicas potencialmente ofensivas. Você seleciona aleatoriamente quatro adultos e pergunta se eles acham que deveria ser permitido que os músicos cantassem músicas potencialmente ofensivas. A variável aleatória representa o número de adultos que acham que deveria ser permitido que os músicos cantassem músicas potencialmente ofensivas.

Passo 1

O enunciado descreve uma situação de distribuição binomial: você faz n=4 tentativas independentes (cada adulto perguntado) e em cada tentativa a probabilidade de “sucesso” (o adulto achar que deveria ser permitido cantar músicas potencialmente ofensivas) é p=0,69. A variável aleatória X conta o número de sucessos em 4 tentativas. Para resolver, vamos usar as fórmulas da binomial para média mu, variância sigma^2 e desvio padrão sigma:
mu = n,p,
sigma^2 = n,p,(1-p),
sigma = raizn,p,(1-p)

Passo 2

Calcular a média usando mu = n,p:
mu = 4 times 0,69 = 2,76
Isso significa que, em média, esperamos que cerca de 2,76 adultos (ou seja, aproximadamente 3 pessoas) entre os 4 consultados concordem que se deve permitir o canto de músicas potencialmente ofensivas.

Passo 3

Calcular a variância usando sigma^2 = n,p,(1-p). Primeiro note que 1-p = 0,31. Então:
sigma^2 = 4 times 0,69 times 0,31 = 0,8556
A variância indica o quadrado da dispersão em torno da média; aqui, 0,8556 é o valor dessa dispersão ao quadrado.

Passo 4

Calcular o desvio padrão que é a raiz da variância:
sigma = raiz0,8556 approx 0,9255 approx 0,93
Isso nos diz que o número de adultos que concordam costuma oscilar, em média, cerca de 0,93 unidades em torno da média 2,76.

Passo 5

Interpretação geral: em uma amostra de 4 adultos aleatórios, espera-se que cerca de 2,76 concordem com a permissão para músicas potencialmente ofensivas, e o desvio padrão de aproximadamente 0,93 mostra que, normalmente, esse número varia menos que uma pessoa para mais ou para menos em relação à média.

Resposta

Média mu = 2,76
Variância sigma^2 = 0,8556
Desvio padrão sigma approx 0,93

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