Nos exercícios a seguir, determine a média, a variância e o desvio padrão da distribuição binomial para a variável aleatória dada, e interprete os resultados.
Trinta e um por cento dos adultos acham que existiu vida em Marte em algum momento. Você seleciona aleatoriamente seis adultos e pergunta se eles acham que existiu vida em Marte em algum momento. A variável aleatória representa o número de adultos que acham que existiu vida em Marte em algum momento.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma amostra de n=6 adultos e cada um, independentemente, acredita em vida em Marte com probabilidade p=0,31. A variável aleatória X conta o número de adultos que acham que existiu vida em Marte, logo XsimBin(n=6,p=0,31). Nosso objetivo é calcular a média E(X), a variância Var(X) e o desvio padrão sigmaX, além de interpretar esses valores.

Passo 2

A média de uma binomial é dada por
E(X) = n,p
Substituindo n=6 e p=0,31, obtemos
E(X) = 6 times 0,31 = 1,86

Passo 3

A variância de uma binomial é
Var(X) = n,p,(1-p)
Substituindo os valores,
Var(X) = 6 times 0,31 times (1-0,31) = 6 times 0,31 times 0,69 approx 1,2834

Passo 4

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
sigmaX = raizVar(X) = raiz1,2834approx 1,133

Passo 5

Interpretação: em média esperamos que cerca de 1,86 dos 6 adultos acreditem em vida em Marte. A variância indica a dispersão quadrática média em torno dessa média, e o desvio padrão de aproximadamente 1,13 mostra que a contagem típica de “sucessos” (adultos que acreditam) costuma variar em torno de 1 pessoa a mais ou a menos.

Resposta

E(X)=1,86
Var(X)approx1,2834
sigmaXapprox1,133

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