(2,0 pontos) Em uma linha de montagem, 3 máquinas - M1, M2 e M3 - produzem 20%, 50 % e 30% dos produtos, respectivamente. Sabe-se que, dos produtos produzidos por M1, 1,2% săo defeituosos; já as frações de itens defeituosos produzidos por M2 e M3 såo, respectivamente, 1,8% e 2,1%.
a) Qual a probabilidade de um produto selecionado aleatoriamente ter sido produzido pela máquina M1 ou pela máquina M2?
b) Sabendo-se que um produto defeituoso foi selecionado, qual a probabilidade de ter nido produzido pela máquina M3?

Passo 1

O enunciado fornece três máquinas com suas frações de produção e taxas de defeito. Precisamos usar:
  1. Soma de probabilidades para eventos disjuntos (item a).
  2. Teorema da probabilidade total para calcular P(D) (probabilidade de defeito).
  3. Teorema de Bayes para achar P(M3mid D) (item b).

Passo 2

Para o item a, as máquinas M1 e M2 são disjuntas, então
P(M1 ou M2) = P(M1) + P(M2)
Como P(M1)=0,2 e P(M2)=0,5, temos
P(M1 ou M2) = 0,2 + 0,5 = 0,7

Passo 3

Antes de aplicar Bayes, calculamos a probabilidade total de defeito P(D) via
P(D) = P(M1)P(Dmid M1) + P(M2)P(Dmid M2) + P(M3)P(Dmid M3)
Substituindo os valores:
P(D) = 0,2cdot0,012 + 0,5cdot0,018 + 0,3cdot0,021 = 0,0024 + 0,009 + 0,0063 = 0,0177

Passo 4

Para o item b, usamos Bayes:
P(M3mid D) = P(M3)P(Dmid M3)P(D) = 0,3cdot0,0210,0177 = 0,00630,0177 approx 0,356
Convertendo em porcentagem, ≈ 35,6 %.

Resposta

(a) 0,7
(b) 0,356 (aproximadamente 35,6%)

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