Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas: x^2 y'' - x y' + y = 2 x Res.: y = c1 * x + c2 * x * ln(x) + x * (ln(x))^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial . O que isso quer dizer? Basicamente, temos uma equação que relaciona uma função com suas derivadas segunda ( ) e primeira ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral que inclui a solução homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o termo independente. Isso fica assim:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Para resolver, vamos tentar uma solução da forma , onde é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Vamos substituir na equação homogênea. Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação:
Simplificando os termos:
Fatorando :
O que nos dá a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , encontramos:
Isso significa que temos uma raiz dupla . Quando isso acontece, a solução geral da parte homogênea é:
ê

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , que já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular de uma forma que não seja solução da homogênea.
Então, vamos supor uma solução particular da forma:

Passo 6

Vamos verificar se essa forma funciona. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Perceba que os termos com e se cancelam, restando:
Isso confirma que nossa suposição está correta.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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