Utilize integração por partes para calcular: integral x^5 e^-x^2 d x Resposta: -12 e^-x^2(x^4+2 x^2+2)+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de duas funções. Pra isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher u = x^4 e dv = x e^-x^2 , dx e na nossa integral .
Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando du = ddx(x^4) , dx = 4x^3 , dx :
v = integral x e^-x^2 , dx
Para achar v = -12 integral e^w , dw = -12 e^w + C = -12 e^-x^2 + C , precisamos integrar :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Assim:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^5 e^-x^2 , dx = u cdot v - integral v , du = x^4 (-12 e^-x^2) - integral (-12 e^-x^2) cdot 4x^3 , dx
Simplificando:
= -12 x^4 e^-x^2 + 2 integral x^3 e^-x^2 , dx
A gente precisa resolver agora a nova integral .

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para u = x^2 e dv = x e^-x^2 , dx .
Escolhemos:
du = 2x , dx
Calculando v = -12 e^-x^2 e integral x^3 e^-x^2 , dx = x^2 (-12 e^-x^2) - integral (-12 e^-x^2) cdot 2x , dx :
= -12 x^2 e^-x^2 + integral x e^-x^2 , dx
integral x e^-x^2 , dx = -12 e^-x^2 + C
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
A última integral é fácil de resolver:

Passo 6

Voltando para a expressão anterior:
integral x^3 e^-x^2 , dx = -12 x^2 e^-x^2 - 12 e^-x^2 + C = -12 e^-x^2 (x^2 + 1) + C
Agora, substituindo de volta na expressão original:
integral x^5 e^-x^2 , dx = -12 x^4 e^-x^2 + 2 (-12 e^-x^2 (x^2 + 1)) + C
Simplificando:
= -12 e^-x^2 (x^4 + 2x^2 + 2) + C

Resposta

integral x^5 e^-x^2 , dx = -12 e^-x^2 (x^4 + 2x^2 + 2) + C

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